Kann mir einer kurz das in Bezug auf f' erklären?
Ich versteh die e nicht. Ich meine ja Im Intervall [-1;0] ist f streng monoton fallend, aber was ist das denn für eine Begründung? Ich dachte es geht um die Tangentensteigung an den jeweiligen Punkten, weil da f'(-1) ne größere Steigung hat.... oder überseh ich hier etwas?
1 Antwort
Gegeben ist eine Ableitung f’ und die Frage ist, was man daraus für die Wendestellen für die eigentliche Funktion schließen kann.
Die Wendestellen einer Funktion f sind die Nullstellen der zweiten Ableitung f’’.
Dies sind aber auch genau die Extremstellen der Ableitung f’.
Das heißt, die Ursprungsfunktion f hat dort ihre Wendestellen, wo die gegebene Ableitung f’ ihre Extremstellen hat. Und das ist (nach Augenmaß) bei x=-1,4 der Fall.
Teil e ist eine unmittelbare Folge des Mittelwertsatzes (siehe Wikipedia):
Bei einer differenzierbaren Funktion auf einem Intervall, bei der die Ableitung überall stets echt kleiner null ist, folgt sofort die strenge Monotonie der Funktion:
Sind a und b die Intervallgrenzen, also a < b (sorry, kann gerade keine eckigen Klammern schreiben), so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein x0 mit a < x0 < b, so dass gilt (f(b) - f(a))/(b-a) = f’(x0).
Es gilt f’(x0) < 0 (weils ja für alle x so ist) und b - a > 0, weil b > a ist.
Dann folgt aber aus obiger Gleichung f(b) - f(a) < 0, d.h. f(b) < f(a).
Danke für ihre Antwort. Aber könnte ich das auch einfach mit der Steigung lösen, so wie ich es in der Frage "erklärt'' habe?
Dass f’(-1) stärker negativ ist als f’(0), spielt keine Rolle.
Es könnte auch f’(-1) = -1 und f’(0) = -5 sein, die Folgerung wäre wieder f(0) < f(-1).
Es kommt nur auf das sich nicht ändernde Vorzeichen der Ableitung an.
Der Mittelwertsatz liefert den sauberen Beweis, alles andere wäre Wischiwaschi.
mir fällt grad auf, dass ich die falsche Aufgabe gemeint habe. Ich verstehe die e nicht🙈Aber vielen Dank