Monotoniesatz - Heißt streng monoton auch, dass es sich immer ändert?
Mal etwas weniger mathematisch gedacht und nichts mit f(x)...
Meine Frage ist einfach, ob z.B. streng monoton steigend zwingend heißt, dass sich die Steigung des Graphen immer ändert.
Also spricht man von streng monoton steigend auch bei einer linearen Funktion?
Oder heißt streng monoton steigend, dass der Graph in dem Intervall immer weiter an Steigung abnimmt?
5 Antworten
Nein, f(x) = x ist ebenso streng monoton steigend.
Wenn sich x um 1 ändert, ändert sich f(x) auch um 1, insofern steigt der Graph immerzu.
Ob sich die Steigung wie bei f(x) = e^x jederzeit ändert, ist unerheblich - wichtig ist, dass sich bei einer Vergrößerung des x-Wertes auch der y-Wert vergrößert.
Zusammenfassend kann man sagen, dass eine Änderung der Steigung für eine streng monoton steigende Funktion nicht erforderlich ist. ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Hallo,
die Steigung muß sich nicht ändern.
f(x)=2x ist streng monoton steigend, während die Steigung immer konstant bei 2 bleibt.
Streng monoton bedeutet, daß, wenn die x-Werte ansteigen, auch die y-Werte immer weiter ansteigen, bzw. immer weiter fallen, daß der Funktionsgraph also entweder ständig bergauf oder ständig bergab geht ohne einen waagerechten Abschnitt dazwischen.
Bei einer monotonen Funktion geht es zwar auf Dauer auch immer weiter bergauf oder immer weiter bergab, dazwischen kann es aber auch Abschnitte geben, in denen der Funktionsgraph parallel zur x-Achse verläuft.
Weder bei monotonen noch bei streng monotonen Funktionen aber darf es weder zu einer Unterbrechung des Funktionsgraphen kommen noch zu einer Richtungsänderung. Es darf auch keinen scharfen Knick im Graphen geben - die Funktion muß überall differenzierbar sein, die erste Ableitung muß also überall definiert sein.
Herzliche Grüße,
Willy
Es darf auch keinen scharfen Knick im Graphen geben - die Funktion muß überall differenzierbar sein
Sorry, aber...
bist Du Dir da wirklich sicher?
Mir wurde schon in der Schule beigebracht, dass die Floor/Trunc-Funktion monoton ist, obwohl sie nicht einmal stetig ist.
Entschuldigung, mein Kommentar von eben ist sinnlos bis falsch.
Hier https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion steht im Abschnitt "Eigenschaften" einiges, das Deinen Einwand stützt.
Der darauf folgende Abschnitt "Ableitung als Monotoniekriterium" erklärt zwar, daß man von der Ableitbarkeit auf die Monotonie schließen kann. Das heißt logischerweise jedoch nicht, daß auch der Schluß in umgekehrte Richtung gilt.
Bei einer monotonen Funktion geht es zwar auf Dauer auch immer weiter
bergauf oder immer weiter bergab, dazwischen kann es aber auch
Abschnitte geben, in denen der Funktionsgraph parallel zur x-Achse
verläuft.
Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, ist zz.B. f(x) = 3 sowohl monoton stegend als auch fallend, es geht also nicht "auf Dauer bergauf".
Ein linearer Graph ist auch streng monoton steigend (oder fallend, je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist).
Streng monoton steigend = der Graph steigt immer und sinkt nie und verläuft auch nie horizontal.
monoton steigend = der Graph steigt, kann aber auch mal horizontal verlaufen. Aber er sinkt nie.
Das bedeutet nicht, dass sich die Steigung ändern muss.
https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion
Hatte mich vertan, der Kommentar ließ sich nicht mehr löschen, nur ändern.
Monotonie hat mit der Ableitung/der Steigung nichts zu tun.
Eine Funktion kann monoton und nicht differenzierbar sein.
Ja, eine lineare Funktion ist immer monoton. Wenn es keine konstante Funktion ist, ist sie streng monoton.
Man kann aber zeigen:
Wenn eine monotone Funktion differenzierbar ist, dann wechselt ihre Ableitung nicht das Vorzeichen. Ist die Funktion streng monoton, fällt die Ableitung auf keinem Intervall mit der Nullfunktion zusammen.
Streng Monoton steigend:
f(y) < f(x) für x > y
Monoton steigend:
f(y) <= f(x) für x > y ("<=" größer gleich)
Das hilft mir hier nicht weiter und das war so nicht meine Frage.
Den Monotoniesatz an sich habe ich auch vor mir liegen.
Das meinte ich letztendlich ja damit! ;)
Vielen Dank!