Ist die Funktion x^3 monoton steigend oder streng monoton steigend?
Hallo liebe Community,
ich werde gerade aus dem Skript unseres Dozenten nicht schlau.
Er definiert streng monoton steigend über f(x2) > f(x1).
Nach meiner Überlegung ist f(x) damit eindeutig streng monoton steigend, da jedem darauffolgenden x-Wert ein größerer y-Wert zugeordnet werden kann.
Andererseits spricht die waagerechte Tangente bei x=0 (=> Sattelpunkt) aber dafür, dass die Funktion nur monoton steigend ist.
Was ist denn nun richtig oder hängt es von der zu Grunde gelegten Definition ab?
Guten Rutsch!
Grüße carbonpilot01
3 Antworten
Nein, eine waagrechte Tangente sorgt nicht automatisch dafür, dass die Funktion nur monoton steigend wäre. Solange nur an einem einzelnen Punkt in der Umgebung die Ableitung gleich 0 ist, und sonst die Ableitung positiv ist, ist die Funktion trotzdem monoton steigend.
Die Bedingung f'(x) > 0 ist nur ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die Funktion streng monoton steigt.
D.h. wenn f'(x) > 0 ist, folgt, dass die Funktion streng monoton steigt. Aber eine Funktion kann unter Umständen auch streng monoton steigend sein, wenn nicht f'(x) > 0 ist.
Die Monotonie ist ja auch nicht über die Ableitung definiert. Sondern eine Funktion ist dann streng monoton steigend, wenn f(x₁) < f(x₂) für alle x₁, x₂ mit x₁ < x₂ ist. Und das ist bei f: ℝ → ℝ, x ↦ x³ der Fall, so dass es sich um eine streng monoton steigende Funktion handelt.
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Siehe auch:
Insbesondere:
Das Kriterium für strenge Monotonie anhand der Ableitung ist nur hinreichend, nicht notwendig. Es ist also quasi nur ein „Wenn ..., dann ...“ und kein „... genau dann, wenn ...“. Das heißt wenn die Bedingung „f'(x) > 0 für alle x“ nicht erfüllt ist, kann man nicht einfach so folgern, dass die Funktion f nicht streng monoton steigend wäre.
@mihisu Vielen Dank schonmal für die Antwort!
Eine Frage habe ich noch zum Thema Folgen und Reihen. Im Skript steht (wortwörtlich zitiert): "Auch hier gilt, dass Folgen mit streng monotonem Verhalten nicht beschränkt sein können."
Das verstehe ich nicht.
Begründen würde ich das jetzt mit einer Funktion, aber das ist ja quasi das selbe. Wenn ich mir 1/x für x>0 anschaue, hat die Funktion ja einen Grenzwert. lim x->0 (1/x)=0
Aber die Funktion ist doch streng monoton fallend, da f'(x)=-x^(-2) keine Nullstelle hat... 🤨
Der Graph von 1/x fällt doch auch kurz vor dem Unendlichen immer weiter, wenn die Steigung da auch noch so unendlich klein ist... 🤷♂️
Also macht der ganze Satz "Auch hier gilt, dass Folgen mit streng monotonem Verhalten nicht beschränkt sein können." doch wenig Sinn, oder?
Besten Dank!
Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion#Ableitungen_als_Monotoniekriterium
Die erweiterte Definition definiert, dass ein Intervall mit nur einem Element, wie hier, nicht dafür sorgt, dass die Funktion nicht streng monoton ist.
Wenn du zwei verschiedene Stellen x und z nimmst (an der die Funktion definiert ist) mit x < z, und dann hast du immer auch x^3 < z^3. Für jedes epsilon > 0 ist x^3 < (x + epsilon)^3, also würde ich sagen: streng monoton steigend.
Die waagerechte Tangente ist unerheblich, weil du dort nur die Steigung an einem Punkt anschaust. Schau nochmal genau die Definition im Skript an. Wahrscheinlich verlangt der Dozent, dass du für strenge Monotone zwei verschiedene (!) Punkte nimmst und dann die Funktionswerte vergleichst.
Wenn du zwei gleiche Stellen nehmen dürftest, dann wäre wohl keine Funktion streng monoton steigend, weil man für jede Stelle x, an der die Funktion definiert ist, sagen kann: f(x) = f(x) und damit nicht f(x) < f(x).
Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege.