Waagerechte Tangenten in Abhängigkeit von k?
Wir haben heute eine Arbeit geschrieben und es ging darum die Anzahl der waagerechten Tangenten in Abhängigkeit von k zu beschreiben die Funktion war f(x)=k*x^4+x^2 .... wie löst man das
4 Antworten
Man leitet die Funktion formal ab und guckt wieviele Lösungen (in Abhängigkeit von k) die Gleichung f'(x) = 0 hat.
Wenn die Funktion tatsächlich f(x) = k x^4 + x^2 war und nicht nur irgendwie so ähnlich., dann ist f'(x) = 4k x^3 + 2x = 4kx (x^2 + 2) und f'(x)=0 hat nur eine Lösung nämlich x=0, wenn k<>0. Wenn k=0, wäre die Funktion f(x) = x^2 und f'(x) = 2x mit ebenfalls nur einer Lösung.
Waagrechte Tangenten liegen nur bei lokalen Extrema sowie Sattelpunkten vor. Polynomfunktionen n-ten Grades haben Maximal n Extema bzw. Sattelpunkten.
Erste Erkenntnis: Wenn k=0, springt der Grad der Polynomfunktion auf 2, da 2 der höchste verbleibende Exponent ist. Demnach liegt dann maximal (bzw. hier genau) n-1= 1 waagerechte Tangente vor.
Ansonsten gibt es bis hier hin maximal 3 waagerechte Tangenten. Das kann man noch weiter eingrenzen, indem man die Extrema betrachtet:
d/dx (kx^4*x^2)=3kx^3+ 2x sei = 0
Es gibt eine NS bei x=0, ansonsten folgt für x!= 0
<=> 3kx^2 + 2=0 <=> x= sqrt(-2/ (3k) )
Jetzt sieht man, dass das der Radikant der Wurzel (sqrt steht für die Wurzel), also das was in der Wurzel steht, nur reelle Lösungen für k<0 liefert, da sich die (-) dann kompensieren und der Radikant positiv wird, was die bekannte Voraussetzung bei Wurzeln ist.
Daraus lässt sich folgern, dass für k>= 0 nur eine waagerechte Tangente bei x= 0 existiert, weitere Lösungen liefert die Wurzel in dem Fall nicht. Für k<0 kommen hingegen zwei weitere Lösungen dazu, sodass dann 3 existieren.
Wie man sieht, keine Aufgabe, bei der man allzu viel nachdenken müsste, sondern strikt nach Schema, bei auf die Fallunterscheidung am Ende. Dem bekannten Verfahren zu folgen, wenn man erst mal nicht durchblickt, kann sich also schon lohnen.
Und natürlich ist die Ableitung 4kx^3 + 2x. Konnte dies im Funkloch leider nicht mehr korrigieren, sorry. Ändert aber am Resultat bis auf den Zahlentausch gar nichts.
f'(x) = 4kx^3 + 2x
f'(x) = 0
2x(2kx^2 + 1) = 0
-> 2x = 0 <=> x = 0 oder
2kx^2 + 1 = 0 | -1
2kx^2 = -1 | :2k
x^2 = -1/(2k) |√
Wenn k >= 0 ist gibt es eine waagerechte Tangente bei x=0, bei k < 0 gibt es 3 (bei 0, √(-1/(2k)) und -√(-1/(2k))
Ableiten und gleich null setzen und dann schauen, welchen Einfluss k hat