Inwiefern zeigt dieser Beweis, dass ich einen Isomorphismus habe?
Also ich verstehe die Schritte im Beweis, ich verstehe nur nicht, warum das jetzt zeigt, dass f^-1 auch bijektiv sei?
Wobei, ich glaube das zeigt einfach, dass f(a) auf c abbildet und f(b) auf d UND das nun ganz deutlich
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Also ich verstehe die Schritte im Beweis, ich verstehe nur nicht, warum das jetzt zeigt, dass f^-1 auch bijektiv sei?
Das wird hier nicht gezeigt, dass die Umkehrfunktion bijektiv ist, folgt direkt daraus dass f bijektiv ist. Es wird hier gezeigt, dass f^-1 ein Isomorphismus ist.
Nur am Rande:
Wenn du eine Erklärung zu einem Beweis haben willst, solltest du auch die AUSSAGE anhängen, die bewiesen werden soll, da sonst der Kontext fehlt.
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Ist es immer so, dass wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, dass f^-1 auch einer ist?
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Ja genau deshalb, aber dachte vielleicht gehts auch anders, wenn f nicht bijektiv ist.
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Wenn f nicht bijektiv ist, was wäre denn dann f<-1? Macht dann die Frage, ob dann f^-1 ein Homomorphismus ist, überhaupt einen Sinn?
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Ach die Umkehrfunktion wäre dann keine Funktion mehr, stimmt. Bzw. nicht wohl definiert.
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Die Aussage, dass eine gegebene Abbildung g ein Gruppenisomorphismus ist, lässt sich in zwei Teile zerlegen:
- g ist ein Gruppenhomomorphismus.
- g ist bijektiv.
Hier wird die erste Aussage gezeigt, nämlich, dass auch f^-1 ein Homomorphismus ist. Die zweite Aussage folgt bereits daraus, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung ebenfalls wieder bijektiv ist - und das hat man in der Regel schon lange vorher gezeigt, als man sich nämlich mit den Begriffen bijektiv, injektiv und surjektiv beschäftigt hat.
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Achso. Aber ist es nicht immer so, dass wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, dass auch f^-1 einer ist.
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JA. ABER AUCH DAS MUSS MAN BEWEISEN. UND DAS PASSIERT HIER.
Es sollte bewiesen werden, dass wenn f ein Isomorphismus ist, dass auch f^-1 einer ist. Aber Isomorphismus ist doch einfach Gruppenhomomorphismus der Bijektiv ist? Dachte die zeigen so die Bijektivität.
Weil wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, ist f^-1 ja auch einer automatisch oder?