Für quad. Matrizen. Wenn AB = 0, dann BA = 0?

Mir ist klar, dass diese Beziehung allgemein für Matrizen A und B auf n x n nicht gilt. Ein Gegenbeispiel A[0 1, 0 1] und B[1 1, 0 0] zeigt das schnell.

Meine Frage ist, wieso der folgende Beweis falsch ist:

(X sei Inverse von A, 0 Sei Nullmatrix)

AB = 0
-> XAB = X0 [XA = 1; X0 = 0]
-> B = 0
---> BA = 0A = 0

Answer 1

[Luksior]

Dein Beweis geht nur durch, wenn A invertierbar ist, denn nur dann ist die Abbildung f(x) = Ax ein Isomorphismus, d.h. nur dann gilt die Identität f(x) = 0 <==> x = 0.

Answer 2

[MeRoXas]

Wenn A invertierbar ist (also Det A ungleich 0, das gilt in deinem Beispiel garnicht), dann impliziert AB=0, dass B=0 sein muss.

Dein Beweis setzt ja gerade die Existenz von X voraus. Für dein A im Beispiel gibt es dieses X aber nicht, deshalb wird hier auch nicht B=0 impliziert.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Answer 3

[HansImGlueck178]

Du nimmst an, dass A invertierbar ist. Für singuläre Matrizen A hast du hier nichts gezeigt.