g und gof bijektiv, dann auch f bijektiv?
Hallo.
Sei f: X —> Y und g: Y —> Z und gof: X —> Z.
Ich sollte beweisen, dass, wenn g und gof bijektiv sind, auch f bijektiv ist.
Wie macht man das?
Vielen Dank!
2 Antworten
Zeige, dass dann f injektiv und surjektiv ist (anhand der Definitionen von Injektivität und Surjektivität).
Für die Injektivität von f beispielsweise, zeige für alle x₁, x₂ ∈ X mit f(x₁) = f(x₂), dass x₁ = x₂ folgt. [Hinweis: Setze in g ein und nutze die Injektivität von g ∘ f.]
Kompletter Lösungsvorschlag:
Kurzversion: f = ( g^(-1) o g ) o f = g^(-1) o ( g o f ) ist bijektiv als Verkettung zweier bijektiver Funktionen.
Langversion: Zeige Injektivität und Surjektivität separat und zu Fuss.
Injektivität, sei f(x1) = f(x2), dann ist g(f(x1)) = g(f(x2)), dann ist n.V x1= x2
Surjektivität, sei y gegeben, wir suchen ein Urbild, nehme das Urbild von g(y) unter g o f.