Ist diese Gruppe abelsch?
Es sei G = {f : R →R|f(x)=ax+b für gewisse a,b ∈ R wobei a ungleich 0}. Bildet G mit ◦ (d.h. der Komposition von Funktionen) eine Gruppe? Wenn ja, ist diese abelsch?
Ich weiß, dass für eine abelsche Gruppe die Assoziativität, das inverse und neutrale Element und die Kommutativität gezeigt werden muss. Aber wie beweise ich das?
2 Antworten
Wie sonst auch.
Erstmal die Abgeschlossenheit. Wenn ich zwei Funktionen aus G habe, also
f(x) = ax + b und
g(x) = a'x + b'
dann kann ich ja
f o g (x) = f(g(x)) = f(a'x + b') = a(a'x + b') + b = aa' x + ab' + b ausrechnen.
Da aa' und ab' + b jeweils wieder reelle Zahlen sind, ist dieses Axiom schon mal erfüllt, d. h. die Verknüpfung o bildet zwei Funktionen aus G auf eine Funktion aus G ab.
Und so machst du jetzt weiter.
Ist für Funktionen f, g und h
(f o g) o h (x) = f o (g o h) (x) ?
Einfach einsetzen und durchrechnen. So geht das dann weiter.
Du musst dir erst mal klarmachen, was zu zeigen ist! Deine Ausdrucksweise, dass "das inverse und neutrale Element gezeigt werden muss", zeigt nämlich, dass du das keineswegs weißt. Aber wenn die angegebene Definition von G von deinem Dozenten stammen sollte, würde mich das auch nicht wundern. Dieses Reden mit "für gewisse" und "wobei" ist für Studenten im frühen Stadium GIFT. Die Bedingung für f, um zu G zu gehören, lautet korrekt:
Es gibt ein a ∈ R\{0} und ein b ∈ R, so dass für alle x ∈ R gilt: f(x) = ax + b.
Wenn du zeigen willst, dass (G,o) eine Gruppe ist, gehören dazu (dies nur bezüglich der von dir verwandten Begriffe) die Beweise der Aussagen:
Es gibt ein e ∈ R, so dass für alle f ∈ R gilt:
eof = f = foe
und weiter:
Zu jedem f ∈ R gibt es ein g ∈ R, so dass gilt:
fog = e = gof.
Wenn eine Behauptung mit "Es gibt..." anfängt, musst du dir (für einen direkten Beweis) einfallen lassen, wie du das Element zu setzen hast, um dessen Existenz es geht. [Das kann einem nur einfallen, wenn man sich genau ansieht, was dieses Element dann erfüllen muss!]
Wenn dann die Behauptung mit "Zu jedem f in R ..." anfängt, musst du (für einen direkten Beweis) ein beliebiges f in R hernehmen (Text: "Sei f in R"), von dem du nichts anderes weißt, als dass es die Bedingung der Zugehörigkeit zu R erfüllt (weswegen diese, wie oben hingeschrieben, erst einmal glasklar vor Augen sein muss), und dir zu diesem f ein g einfallen lassen, so dass die beiden angegebenen Gleichungen erfüllt sind. [Wieder kann einem das nur einfallen, wenn man sich genau ansieht, was diese Gleichungen für die Koeffizienten zur Darstellung von g in Abhängigkeit von den Koeffizienten von f für Bedingungen erfüllen müssten.]
Aber hast du denn schon einen Verdacht (eine Vermutung), ob es sich um eine Gruppe handelt oder eher nicht? Und wie kommst du zu einer solchen Vermutung? Gibt es eine Gruppeneigenschaft, die fraglich auf dich wirkt, oder sieht alles harmlos aus? - So weit muss man ja erst einmal sein, bevor man an das Aufschreiben eines Beweises denken kann! Die Aufgabe enthält ja keine Behauptung, sondern Fragen! Die zugehörigen Antworten musst du erst finden, als Behauptungen formulieren und DANN beweisen.
Hintereinanderausführungen (als Verknüpfungen von Funktionen) sind z.B. meist nicht so gute Kandidaten für die Kommutativität, die aber in speziellen Strukturen auch mal gegeben sein kann. Wie ist es hier?
Konkrete Fälle ansehen und ausprobieren, was das in Frage Stehende bedeuten würde, um auf Ideen zu kommen! Nicht die Ideen von anderen geben lassen und abpinseln!!
Sei f(x) = ax + b und g(x) = cx + d
f*g(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + (ad + b)
g*f(x) = g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = acx + (bc + d)
Da ad + b = bc + d im Allgemeinen nicht gilt, liegt keine Kommutativität vor…
wie funktioniert das aber mit dem neutralen und inversen Element?