In einem n-Eck mit unterschiedlich großen innenwinkel die alle kleiner sind als 180° ist die Summe von n-1 innenwinkel 2017° wie groß ist n?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die Winkelsumme in einem n-Eck ist 180°(n-2).
→ 180(n-1-2) = 2017 → nach n auflösen → n = 14,2
15-Eck: 2340 — 14-Eck: 2160° — 13-Eck: 1980°
Da der letzte Winkel, der in 2017° nicht enthalten ist und dieser kleiner als 180 ist, kann es sich nur um ein 14-Eck handeln (der letzte Winkel ist 2160-2017= 143°).
Das 13-Eck scheidet aus (nur 1980°); das 15-Eck ebenfalls, da der fehlende Winkel 323° ist, also zu groß.
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Die Summe der Winkel eines Vielecks sind immer ein Vielfaches von 180.
Also teile ich 2017 durch 180
2017 : 180 = 11,2055...
die ganze Zahl des Quotienten ist 11, also
11*180 =1980
soviel Grad ist die Winkelsumme in einem (11 -2) Neuneck.
Wir müssen also ein Zehneck haben da die Summe größer als 1980 ist.
Ein Zehneck hat 12 * 180 = 2160
der Winkel dessen Größe wir suchen ist:
2160 - 2017 = 143°
Siehe auch Erläuterungen dazu, von SlowPhil
LG,
Heni
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Oh! da habe ich den Text nicht aufmerksam gelesen und danach habe ich anstatt zu dem Quotient 2 zu addieren, noch abgezogen.
2160 /180 = 12, also das n-Eck hat 12+2 = 14 Seiten!
Danke für den Hinweis!
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Winkelsumme 2017° - das ist nur möglich, wenn das n-Eck kein ebenes ist oder sich auf einer gekrümmten Fläche befindet.
Bei einem ebenen n-Eck in einer Euklidischen Ebene wächst die Winkelsumme mit jeder Ecke um 180°, unabhängig davon, wie unterschiedlich die einzelnen Winkel sind.
Das kann man sich an einem Dreieck klar machen. Seine Winkelsumme ist 180°. Fasst man willkürlich einen Randpunkt als Eckpunkt mit Winkel 180° auf, bekommt man schon mal 360° und so fort.
Beim Neuneck kommt man auf 1980° (1980/180 – 2 = 11 – 2 = 9), beim Zehneck also 2160°. Das Neuneck ist also näher dran.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ralphdieter/1444750340_nmmslarge.jpg?v=1444750340000)
Winkelsumme 2017° - das ist nur möglich, wenn das n-Eck kein ebenes ist oder sich auf einer gekrümmten Fläche befindet.
2017° ist die Summe von nur (n-1) Innenwinkeln. Einer fehlt. Die gesamte Winkelsumme muss größer sein, hier 12·180°=2160°.
Beim Neuneck kommt man auf 1980°
Ein Dreieck hat die Innenwinkelsumme (3-2)·180°, ein Neuneck (9-2)·180°=1260°. Obige 2160° gehören zu einem 14-Eck.
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Da habe ich wohl falsch herum gerechnet. Peinlich!
Die Moral von der Geschicht': Veröffentliche nie eine Rechnung, die Du im Zustand fortgeschrittener Müdigkeit gemacht hast.
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… und die näher dran liegenden 1980° zu einem 13-Eck. Heißt: 2017° Innenwinkelsumme ist entweder ein 13-Eck auf einer leicht positiv gekrümmten (z.B. Kugel) oder ein 14-Eck auf einer etwas stärker negativ gekrümmten Fläche (z.B. Tuba), jeweils aus geodätischen Linien.
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Zustand fortgeschrittener Müdigkeit
Aha, so nennst Du das also.
Ich sage nur: "DON'T DRINK AND DERIVE!" :-)
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... oder ein 13½-Eck in einem Treppenhaus von M. C. Escher.
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Hätte ich gesoffen, hätte ich das auch gesagt. Ich habe seit gut 1½ Jahren Äthanol allenfalls noch gegessen (auf einem Dessert beispielsweise) bzw. in Spuren getrunken (alkfreies Bier).
Mir sind tatsächlich die Augen zugefallen, außerdem habe ich mich nicht so richtig konzentrieren können.
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Da kan man die Innenwinkel in der Tat nicht gut abschätzen.
Gesucht ist kein Winkel, sondern n=14.