Wann ergibt die Summe aller Winkel in einem Dreieck NICHT 180 Grad?
Ich habe mal gehört, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck nicht 180 Grad ergeben muss. Warum? Widerspricht das nicht der "normalen" Geometrie? Bei welchen Dreiecken ist das der Fall?
7 Antworten
Widerspricht das nicht der "normalen" Geometrie?
Doch, das wiederspricht der "normalen" euklidischen Geometrie:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Euklidische_Geometrie
Deswegen spricht man in diesen Fällen auch von der nicht-euklidischen Geometrie.
Um es mal einfach auszudrücken: In solchen Fällen ist die Fläche nicht eben, sondern gekrümmt.
Das anschaulichste Beispiel ist die Erdkugel: Nimm einen Globus. Lege deinen Finger auf den Nordpol. Gehe dann vom Nordpol bis zum Äquator. Dann fährst Du am Äquator 90° nach links oder rechts und dann wieder hoch zum Nordpol
Du hast dann ein Dreieck mit 3 rechten Winkeln!
Man muss hinzufügen dass es in nicht-euklidischen Geometrien keine "Geraden" im herkömmlichen Sinne gibt. Auf einer Kugel z. B. definieren zwei Punkte nicht eine Gerade sondern einen sogenannten "Großkreis" (es sei denn die Punkte liegen einander auf der Kugeloberfläche genau gegenüber, wie etwa die beiden Pole auf der Erde, wenn man mal davon absieht dass die Erde keine ideale Kugelgestalt hat). Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche ist immer Teil eines Großkreises und wird "Orthodrome" genannt.
In der Kartographie stellen der Äquator und die Längengrade Großkreise dar, nicht jedoch die Breitengrade (mit Ausnahme des Äquators natürlch). Dies gilt selbstverständlich wieder nur wenn man die Gestalt der Erde als ideal kugelförmig ansieht.
Die "normale" (sog. euklidische) Geometrie beruht auf mehreren Axiomen (unbeweisbaren Voraussetzungen), zu denen auch das Parallelenaxiom gehört. Dies besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele zu g gibt, die durch P geht. Wenn alle Axiome einschließlich des Parallelenaxioms gelten, ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180°. (Man kann sogar im Grunde das Parallelenaxiom durch die Aussage "Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°" ersetzen, das führt zur gleichen Geometrie.)
Da das Parallelenaxiom aber weniger elegant und einfach ist als die anderen, haben die Mathematiker lange versucht, es aus den anderen Axiomen herzuleiten, statt es vorauszusetzen. Dabei stellte man dann irgendwann fest, dass sich ohne das Parallelenaxiom gänzlich andere Geometrien ergeben.
Anschaulich ist zum einen die schon beschriebene Geometrie auf einer Kugeloberfläche, bei der die Winkelsumme im Dreieck immer größer als 180° ist. Interessanterweise hängt hier die Winkelsumme u. a. von der Größe des Dreiecks ab, für sehr kleine Dreiecke ist sie nur minimal größer als 180°.
Ein anderes anschauliches Beispiel ist die Geometrie auf einer Sattelfläche (s. z. B. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperbolic_triangle.svg), bei der Die Winkelsumme kleiner als 180° ist.
Hi,
wie Sebbel2 schon gesagt hat: Zum Beispiel bei hyperbolischen Dreiecken ist das nicht mehr der Fall. Außer im entarteten Fall (Kugel mit Radius unendlich) ist sie also dort immer < 180. Beachte, dass die Angaben auf Wikipedia in Radiant sind, d.h. 2 \pi = 360°.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie#Dreieck
Wenn es nicht in einer euklidischer Ebene liegt, dann muss die Summe seiner Winkel nicht 180 Grad sein. Die Erde ist eher Kugel als Ebene.
Auch in der hyperbolische Geometrie ist die Summe nicht gleich 180 Grad.
Auf einem Blatt ist der Winkel immer 180 grad.
Malst du ein Dreieck aber z.B. auf einer Kugel, sind es keine 180 Grad mehr.