Hätte diese Wahrscheinlichkeitsfrage?

Könnte mir einer bitte helfen.( Gleichung aufstellen)

1. In einer Urne befinden sich 3 grüne und eine unbekannte Anzahl blauer Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele blaue Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine blaue Kugel gezogen wird, 0,91 beträgt?

Answer 1

[FouLou]

Es gibt 4 fälle. Wenn man zwei kugel zieht. Bei nur einem davon zieht man keine blaue. Sondern eben 2 grüne.

Wir wissen das die warscheinlichkeit für diesen fall 0,09 ist. (Gegenwarscheinlichkeit von 0,91)

Nun wissen wir auch das wenn wir 2 grüne ziehen. die warscheinlichkeit von 1 mal grüne ziehen zum quadrat ist. Sprich: x² = 0,09.

Alsowurzel ziehen.

Dann haste die warscheinlichkeit eine grüne zu ziehen. Nun weisste das du 3 grüne hast. Von x,

Nu haste eine Prozentrechung der art: 3 von x ist wurzel(0,09)

Und dann musste nur noch x ausrechnen. und dann hast du die gesamtzahl aller kugeln.

Nur noch 3 abziehen. Fertig.

Comments

[LoverOfPi]

Schöner weg. Genau wie meiner :D

[FouLou]

@LoverOfPi

Gibt mir hoffnung das ich keinen quatsch erzähle. XD

[LoverOfPi]

@FouLou

Ich hab dem Fragesteller aber erstmal nur die Gleichung gegeben, das Ergebnis wird dann das Gleiche sein :D

Answer 2

[LoverOfPi]

Du hast eine unbekannte Größe, hier die Anzahl der blauen Kugeln, diese Anzahl sei b. Die Gesamtzahl an Kugeln sind also b+3. Damit hast du bei einmaligem Ziehen eine Chance von b/(b+3), eine blaue Kugel zu ziehen.

Zusätzlich hast du das hier gegeben

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine blaue Kugel gezogen wird, 0,91

Was mathematisch gesehen das bedeutet:

P(X>0)=0.91 und das ist wiederum äquivalent:

$P\left(X>0\right)=1-P\left(X=0\right)$ Also sprich: Ziehe von 1 die Wahrscheinlichkeit ab, dass keine blaue Kugel gezogen wird. Das heißt bei zweimaligem Ziehen muss dafür 2 mal grün kommen.

$P\left(2x\ gr.\right)=\left(\frac{3}{b+3}\right)^2$ Und zusammengesetzt ergibt das:

$0.91=1-\left(\frac{3}{b+3}\right)^2$ Damit kannst du b berechnen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im dritten Semester.

Answer 3

[mihisu]

Sei b die Anzahl an blauen Kugeln. Dann sind insgesamt 3 + b Kugeln in der Urne, wovon 3 grün und b blau sind.

[Ich würde nun mit dem Gegenereignis arbeiten, da dann in diesem Fall die Rechnung etwas kompakter ist. Das Gegenereignis zu „Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.“ ist „Es wird keine blaue Kugel gezogen.“ bzw. „Es wird beide Male eine grüne Kugel gezogen.“]

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einer einzelnen Ziehung eine grüne Kugel zieht, beträgt dann...

$\frac{3}{3+b}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen bei beiden Ziehungen eine grüne Kugel zieht, beträgt dann...

$\frac{3}{3+b}\cdot \frac{3}{3+b}\quad \text{bzw.}\quad \left(\frac{3}{3+b}\right)^2$

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis, dass mindestens eine blaue Kugel gezogen wird, beträgt dann...

$1-\left(\frac{3}{3+b}\right)^2$

Diese Wahrscheinlichkeit soll nun 0,91 betrage. Also...

$1-\left(\frac{3}{3+b}\right)^2=0\text{,}91$