grenzwerte mit h-methode bzw termvereinfachung?

Bitte mit beiden Methoden. Wie würde das bek der Aufgabe aussehen?

Answer 1

[Mathetrainer]

Mit h- oder Gottwelchervereinfachung an dieser Stelle nicht. Der Zähler lässt sich nämlich faktorisieren zu

$\left(x^3-2x+1\right)\left(x-1\right)$ und damit lässt sich zunächst (x-) herauskürzen. Es handelt sich also bei x=1 um eine hebbare Definitionslücke.

Der Grenzwert mit z. Bsp. der h-Methode ergibt sich jetzt zu:

$g\left(x\right)=x^3-2x+1$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-2x-2h+1-x^3+2x-1}{h}$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-2h}{h}=h^2+3xh+3x^2-2$ $\lim_{h->0}\left(h^3+3xh+3x^2-2\right)=3x^2-2=g'\left(x\right)$ $g'\left(1\right)=3-2=1$

Comments

[Tannibi]

Der Zähler lässt sich zu

(x - 1)*(x^2 + x - 1)

faktorisieren.

[Mathetrainer]

@Tannibi

Oooh ja, sehe ich gerade, das wirft natürlich die gesamte Folgerechnung um. Von Prinzip muss es aber so gemacht werden. Die Limesschreibweise des Fragestellers ist jedenfalls so wie dargestellt falsch.

Answer 2

[Rhenane]

Da im Zähler für x=1 auch Null rauskommt, muss man zwangsläufig im Zähler (x-1) ausklammern können, bzw. ist dieser Zähler durch (x-1) restlos teilbar, d. h. man kann den Zähler z.B. mithilfe der Polynomdivision "aufspalten", ergibt:
(x³-2x+1):(x-1)=x²+x-1
D. h. x³-2x+1 ist das gleiche wie (x-1)(x²+x-1). Hier kann man nun (x-1) mit dem Nenner kürzen und es bleibt x²+x-1 übrig. Hier kann man nun problemlos x=1 einsetzen und erhält dort 1 als Grenzwert.