Wie lautet der Grenzwert?
Hallo,
ich komme zurzeit bei dieser Aufgabe zu Grenzwerten nicht weiter.
Wie würde hier der Grenzwert sein wenn lim gegen unendlich geht?
4 Antworten
Setze
√(n^4 - n) = n² * √(1 - (1 / n³))
und
(n + 1)³ - n³ = 3 * n² + 3 * n + 1
und klammere n² im Zähler und im Nenner aus und kürze n²:
lim (n →∞) [(1 - (4 / n²) + √(1 - (1 / n³)) + (1 / n)] / [(3 + (3 / n) + (1 / n²)] = 2 / 3
Bei Grenzwerten von Brüchen mit Polynomen musst du immer nur die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner betrachten. Dazu musst du aber vorher Zähler und Nenner ausmultiplizieren:
Die höchste Potenz im Zähler ist zwei und im Nenner auch. Damit ist der Grenzwert der Bruch aus den Vorfaktoren der höchsten Potenzen:
- Im Nenner ist der Vorfaktor offensichtlich 3
- Im Zähler musst du auch den Term unter der Wurzel beachten. Damit ist der Vorfaktor in Zähler 1+1=2
Der Grenzwert des gesamten Bruchs ist damit 2/3.
Die höchste Potenz im Zähler ist n^2, allerdings auch im Nenner, da die n^3 durch -n^3 neutralisiert wird. Also gilt Koeffizient von n^2 im Zähler durch Koeffizient von n^2 im Nenner.
Im Zähler hast du eine 2, im Nenner eine 3. (binomische Formel 3. Grades mit den Koeffizienten 1 3 3 1). Somit ist der Grenzwert 2/3.
Da im Zähler n höchstens in zweiter Potenz, im Nenner jedoch in dritter vorkommt, wird der Grenzwert null sein.
Verschwindet im Nenner nicht die dritte Potenz durch die Subtraktion?
Im Zähler hast du das n^4 unter der Wurzel vergessen. daher ist der Grenzwert 2/3