gleiche Entfernung zu allen Koordinaten?
Hallo, ich habe die Aufgabe bereits zeichnerisch gelöst aber ich schaffe es nicht sie auch rechnerisch zu lösen. Ich habe im Internet nichts gefunden um sie zu lösen außer dem Umkreis, ich habe dann mit der Formel r=a•b•c/4•A (die ich ebenfalls online gefunden habe) den Radius berechnet und als Ergebnis 6,39 erhalten. Dieser Wert stimmt auch mit dem meiner Zeichnung überein, allerdings verstehe ich nicht wie ich ohne die Zeichnung verstehen hätte können was dieser Wert aussagt. Vor allem würde mich aber interessieren ob es noch einen anderen (und vielleicht simpleren Weg ohne neue Formeln) gibt.
Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!
3 Antworten
Außer dem Satz des Pythagoras braucht man keine weiteren Formeln.
Sei x | y der gesuchte Punkt (Mittelpunkt des Umkreises) und r der Radius. Dann ist
[A] (x - 2)² + (y - 1)² = r²
[B] (x - 10)² + (y - 5)² = r²
[C] (x - 10)² + (y - 9)² = r²
Gleichsetzen von [B] und [C] ergibt
(y - 5)² = (y - 9)², also y = 7
Einsetzen von y = 7 in [A] bzw. [B] ergibt
(x - 2)² + 6² = r²
(x - 10)² + 2² = r²
Gleichsetzen ergibt
(x - 2)² + 6² = (x - 10)² + 2²
Das ist eine lineare Gleichung (obwohl es auf den ersten Blick nicht so aussieht). Ihre Lösung ist x = 4.
Einsetzen in [A] bzw. [B] (als Probe) ergibt
2² + 6² = r²
6² + 2² = r²
Sieht gut aus.
Um die Teilaufgabe b) zu lösen, kann man x = 7, y = 4 in [A], [B] und [C] einsetzen. Dann sieht man, dass dieser Punkt für alle drei Orte besser ist. Gerade bei stumpfwinkligen Dreiecken kann ja der Umkreismittelpunkt sonstwo (weit außerhalb) liegen.
Und wer jetzt immer noch Langeweile hat, darf jetzt den Punkt berechnen, für den das Maximum der Abstände zu A, B bzw. C minimal wird 😉. Das wäre das Optimum.
Das hatte ich zuerst auch gedacht.
Es kommt aber darauf an, was hier optimiert werden soll. Wenn die Rettungsstation im Schwerpunkt steht, ist die durchschnittliche Fahrzeit zu den Dörfern minimal. Das spricht für Deinen Vorschlag.
Wenn man aber die maximale Fahrzeit minimieren will, ist das für stumpf- und rechtwinklige Dreiecke der Mittelpunkt der längsten Seite, für recht- und spitzwinklige Dreiecke der Mittelpunkt des Umkreises.
Vielen Dank erstmal, dass hat mir auf jeden Fall weitergeholfen. Ich verstehe allerdings nicht wieso du zu Beginn B und C gleichgesetzt und du dabei jeweils das (x-10)^2 weggelassen hast. Für die Teilaufgabe b) habe ich jetzt deine Werte für x und y eingesetzt, dabei bekomme ich dann 6,3 raus. Was bedeutet dieser Wert?
Die Tatsache, dass bei beiden Gleichungen der Term (x - 10)² auftaucht (weil B und C die gleiche x-Koordinate haben), war für mich das "gefundene Fressen".
Man kann natürlich beim Gleichsetzen das (x - 10)² auf beiden Seiten erstmal hinschreiben und dann subtrahieren.
6,3 ist die Wurzel aus 40 und der Umkreisradius.
Für den Punkt (7 | 4) ist der Abstand zu A und C die Wurzel aus 34 und zu B die Wurzel aus 10, also beides dichter dran.
Für den Punkt (6 | 5) wäre das für A und C die Wurzel aus 32, also noch dichter dran. Für B ergibt sich dann die Wurzel aus 16.
(6 | 5) ist für mich das Optimum. Das ist der Mittelpunkt der Strecke AC.
Ich hatte noch ein bisschen nachgedacht und kann inzwischen beweisen, dass das Optimum für stumpf- und rechtwinklige Dreiecke der Mittelpunkt der längsten Seite ist. Für spitzwinklige Dreiecke vermute ich, dass es wirklich der Umkreismittelpunkt ist, kann es aber noch nicht beweisen.
alternative Lösung:
Mittelpunkte der Seiten bestimmen:
M_A,B = A + AB/2 = (6│3)
M_A,C = A + AC/2 = (6│5)
Steigungen m_t der Geraden bestimmen:
m_A,B = (5 - 1) / (10 - 2) = 1/2
m_A,C = (9 - 1) / (10 - 2) = 1
Für die Orthogonalen (Mittelsenkrechten) gilt m_o = -1/m_t
m_A,B_o = -2
m_A,C_o = -1
y-Abschnitte bestimmen:
3 = -2 * 6 + b
b = 15
5 = -6 + b
b = 11
Geraden (Mittelsenkrechten) bilden und gleichsetzen:
y = -2x + 15
y = -x + 11
---------------
-2x + 15 = -x + 11
x = 4
y = 7
P (4│7) Mittelpunkt Umkreis
Auf dem Umkreis liegen alle drei Punkte A B und C . Genau das macht einen Umkreis aus , dass auf ihm alle Dreieckspunkte liegen . Ergo ist der Mittelpunkt gleichweit von den Punkten entfernt , und zwar Radius
.
wenn du die Umkreisformeln nicht aus deinen Unterlagen kennst : mal eben herleiten ist nicht möglich
Bei Wikipedia findet man :
wobei man ja auch erstmal die Seiten oder A bestimmen muss
.
Woher hast du dein A ?
Ich hatte die Länge der Seiten aus meiner Zeichnung genommen, weil ich sonst ja keine Angaben zu irgendwelchen Längen hatte, und damit mein A berechnet. Kann man denn die Aufgabe auf eine andere Art lösen?
Kommt drauf an , welche Klasse du bist
ohne Ablesen ist es nervig und langwierig
Ich vergesse immer wieder , dass auch das manchmal erlaubt ist
Ich verstehe aber nicht , warum ihr keine Formel zur Verfügung habt . Oder machst du die Aufgabe nur privat ? Oder sollt ihr suchen im Internet ?
Ich bin in der E-phase. Die Aufgabe war Hausaufgabe aber unsere Lehrerin hat nichts zu der Aufgabe gesagt.
Das wäre dann der Schwerpunkt, (22/3, 5)