2cos(x)+1 = 2sin(x)?
Wie löst man die oben stehende Gleichung rechnerisch also mit Gleichsetzen und dann wie löse ich das auf? Ich bekomme es nur zeichnerisch hin...
Danke im Voraus
4 Antworten
Hallo,
2*(sin(x)-cos(x))=1
sin(x)-cos(x)=1/2.
Quadrieren auf beiden Seiten ergibt
sin²(x)+cos²(x)-2sin(x)cos(x)=1/4
Da sin²(x)+cos²(x)=1 und 2sin(x)cos(x)=sin(2x), gilt:
1-1/4=sin(2x)
sin(2x)=3/4
2x=arsin(3/4).
Da es nicht nur einen Winkel gibt, der zu einem Sinus von 3/4 gehört, mußt Du durch Einsetzen prüfen, welche Lösungen möglich sind.
Grenze die Lösungsmenge am besten auf den Bereich zwischen -90° und 90° ein, da erwischst Du alle möglichen Werte für den Sinus.
Herzliche Grüße,
Willy
sin (x)=sin (pi-x). Versuch es mal damit und denk dran, daß der Arkussinus zunächst 2x liefert und nicht x.
Hast Du den Rechner auf rad eingestellt?
Ich habe als eine mögliche Lösung x=1,146765287 heraus.
arsin(3/4)=0,848062079
pi-0,848062079=2,293530575
Da das 2x ist, ist x davon die Hälfte.
Auf 1,15 komme ich ebenfalls allerdings brauche ich ja x=1,15 und x=3,57. Wie komme ich auf die 3,57? Und mein TR ist auf Bogenmaß eingestellt.
Du hättest einfach arsin (3/4) zu 2pi addieren müssen und das Ergebnis durch 2 teilen.
So landest Du wieder im gewünschten Bereich zwischen 0 und 2pi.
0=2*sin(x)-2*cos(x)-1
f(x)=C1*sin(x)+C2*cos(x) kann man direkt in die Form f(x)=A*sin(x+b) umwandeln
f(x)=2*sin(x)-C2*cos(x)
Betrag |A|=Wurzel(2²+(-2)²)=2,8284..
b=arctan(C2/C1)=arctan(-2/2)=-0,7854..
0=2,8284*sin(x-0,7854)-1
x-0,7854=arcsin(1/2,8284)
x=arcsin(1/2,8284)+0,7854=1,1468
Probe: f(1,1468)=2*sin(1,1468)-2*cos(1,1468)-1=1-1=0
Hinweis: f(x)=C1*sin(x)+C2*cos(x) ist die Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen,die wieder eine harmonische Schwingung ergibt
Voraussetzung: Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) w1=w2=w
Wenn w1≠w2 dann ergibt sich eine periodische Zackenkurve
Vorsicht.tan(a) ist immer der Winkel zwischen dem resultierenden Vektor A und der x-Achse.
Man muß immer prüfen,ob auch sin(x+b)=C1*sin(x)+C2*cos(x) ist
Je nach Vorzeichen von C1 und C2 liegt der resultierende Vektor A im
I Quadranten,II Quadranten,III Quadranten oder IV Quadranten
Allgemeine Überlagerung von 2 harmonischen Schwingungen mit gleicher Kreisfrequenz,siehe Mathe-Formelbuch,Überlagerung harmonischer Schwingungen.
1) y1=f1(x)=a1*sin(w*x+b1)
2) y2=f2(x)=a2*sin(w*x+b2)
Hinweis: f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2) kann man also direkt umwandeln
Hier wäre dann 0=2*sin(x)-2*sin(x+pi/2)-1
1) y1=2*sin(x+0)
2) y2=-2*sin(x+pi/2)
b=pi/2 verschiebt auf der x-Achse nach links
y1=sin(x) und y2=cos(x) sind harmonische Schwingungen mit gleichen Kurvenverlauf,allerdings um pi/2=90° gegeneinander verschoben
Du kannst jede Winkelfunktion durch eine andere ausdrücken -->
siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung
(Punkt 2.2 Gegenseitige Darstellung)
Also:
zB: sinx = √(1-cos²x)
Einsetzen: 2*cosx + 1 = 2*√(1-cos²x) --> quadrieren und nach cosx auflösen (wenn du cosx=z substituierst, ist es vielleicht offensichtlicher, dann nach z auflösen)
PS: Auf jeden Fall die Probe machen, denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, daher sind auch nicht unbedingt alle Lösungen, die du herausbekommst, tatsächlich Lösung!
sin² = 1 - cos²
Ersetzt Du sin oder cos, wodurch eine Gleichung mit einer Unbekannten entsteht, nach der Du auflöst
Ich komme irgendwie trotzdem nicht auf das gewünschte Ergebnis was an dem Quadrieren liegt ab da ergibt sich für die Gleichung nämlich die Lösung x=0,425 und x'=2,717 im Intervall (0; 2pi) aber ich muss auf x=1,15 und x'=3,75 kommen...