Hallo Ich brauche bei dieser Aufgabe eure Hilfe Danke im Voraus ?
auf der Insel Bora liegen drei Dörfer a,b und c.Sie haben die Koordinaten a(2/1), b (10/5) und c (10/9).Nun soll eine Rettungsstation gebaut werden.An welcher Position p sollte die Retttungsatation liegen,damit die Entfernung zu allen drei Dörfern gleich ist?
a)Löse die Aufgabe rechnerisch und zeichnerisch
6 Antworten
Man muss wissen, dass "gleich weit entfernt" dasselbe bedeutet wie: Radius des Umkreises. Den Umkreis bekommt man aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von mindestens zwei Seiten.
Also bestimme ich zuerst zwei Seitengleichungen mit der Zweipunkteform:
(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) steht in der Formelsammlung
Das ist für die Punkte (eigentlich Großbuchstaben)
A(2|1) und B(10|5) (y - 1)/(x - 2) = (5 - 1)/(10-2) | nach y auflösen
y = 1/2 x
A(2|1) und C(10|9) (y - 1)/(x - 2) = (9 - 1)/(10 - 2)
z = x - 1
Zur Unterscheidung habe ich bei der zweiten z für y geschrieben.
Die Mitten dieser beiden Seiten sind y: (6|3) Mittelwertbildung
z: (6|5)
Steigungen für y: -2 senkrecht m⊥ = -1/m
für z: -1
Senkrechte y⊥ = m⊥ * x + b
für y: 3 = 6 * (-2) + b
b = 15
y⊥ = -2x + 15
für z: 5 = 6 * (-1) + b
b = 11
z⊥ = -x + 11
Diese beiden zum Schnitt bringen:
-2x + 15 = -x + 11
x = 4
Einsetzen in eine der beiden: y = -2 * 4 + 15
y = 7
Schnittpunkt (4|7)
Das sind die Koordinaten des Umkreismittelpunkts.
Der Rechenweg ist klar. Die Abstände zu A, B, C bekommt man mit Pythagoras. Der Punkt müsste außerhalb des Dreiecks ABC liegen, die Abstande müssten etwa bei 6 liegen. (Mehr Zeit habe ich jetzt nicht.)
Falls ich mich irgendwo vertippt habe, müsste es ja jemand merken, der es mit Verstand nachvollzieht, was ich ich ohnehin empfehle.
Zeichne dir die Punkte in ein Koordinatensystem ein und dann verbinde sie zu einem Dreieck und dann finde zeichnerisch wie rechnerisch den Mittelpunkt :)
Wenn alle Punkte von einem Mittelpunkt gleich entfernt sein sollen liegen sie auf nem Kreis.
In dem Fall wäre es der Umkreis des Dreiecks.
Wie man den berechnet lässt sich rauskriegen ;-)
(bissl musste ja auch selbst machen)
Hallo,
wie es zeichnerisch geht, weißt Du ja jetzt: Der Punkt, der von allen drei Dörfern gleich weit entfernt ist, ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks und damit der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
Du brauchst aber noch die rechnerische Methode.
Die funktioniert über Vektoren.
Zunächst ermittelst Du die Mittelpunkte zweier Seiten, zum Beispiel der Verbindung ab und ac
Du berechnest den Vektor, der von a nach b bzw. von a nach c führt, und multiplizierst ihn mit 0,5. Das Ergebnis ist die Mitte zwischen a und b.
a=(2/1), Verbindung von a nach b ist b-a, also (10/5)-(2/1)=(8/4)
(2/1) ist der Punkt, an dem der Vektor beginnt, (8/4) gibt die Richtung und Entfernung zu b an.
Die Mitte zwischen a und b liegt dann bei (2/1)+0,5*(8/4)=(6/3)
Die Mitte zwischen a und c ermittelst Du genauso. Sie liegt dann bei (6/5).
Nun brauchst Du die Mittelsenkrechten.
Dazu konstruierst Du Vektoren, die senkrecht zu den Richtungsvektoren ab und ac, also zu (8/4) und (8/8) (c-a) liegen.
Da es hier nur auf die Richtung ankommt, kannst Du die Vektoren (8/4) und (8/8) kürzen, um kleinere Zahlen zu haben (bei der Mittelpunktsuche darfst Du allerdings nicht kürzen, denn hier kommt es nicht nur auf die Richtung, sondern auch auf die Entfernung an.
Aus (8/4) wird (2/1), aus (8/8) wird (1/1).
Senkrecht zu (2/1) ist zum Beispiel der Vektor (1/-2), denn (2/1)·(1/-2)=0, die Voraussetzung dafür, daß zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Senkrecht zu (1/1) ist dann (1/-1) (Du vertauschst also die Komponenten und wechselst bei einer der beiden das Vorzeichen).
Nun kannst Du eine Gerade konstruieren, die durch den Mittelpunkt der Strecke ab, also durch Punkt (6/3) geht und senkrecht auf der Verbindung ab steht:
(6/3)+s*(1/-2)
Die Konstante s verlängert oder verkürzt den Vektor um eine beliebige Strecke. Ist sie negativ, kehrt sie sogar seine Richtung um.
Die andere Mittelsenkrechte ist entsprechend (6/5)+t*(1/-1)
Den Schnittpunkt der beiden und damit den gesuchten Punkt erhältst Du, wenn Du beide Geraden gleichsetzt:
(6/3)+s*(1/-2)=(6/5)+t*(1/-1)
Das führt Dich zu den beiden Gleichungen:
6+s=6+t
3-2s=5-t
Buchstaben nach links, Zahlen nach rechts:
s-t=0
-2s+t=2
Aus der ersten Gleichung wird klar, daß s=t,
die zweite kannst Du dann so schreiben:
-2t+t=2, also -t=2 und somit t=-2
Nun -2 für t in (6/5)+t*(1/-1) eingesetzt:
(6/5)-2*(1/-1)=(4/7)
Der Punkt ist gefunden und sollte mit der zeichnerischen Lösung übereinstimmen.
Herzliche Grüße,
Willy
Gesucht ist der Mittelpunkt des Umkreises, denn von diesem sind alle Randpunkte aus gleich weit entfernt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis#Koordinaten
Dort steht auch schon die Formel dafür.
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (zwei Mittelsenkrechten reichen für eine eindeutige Bestimmung). So gelangst du dann an die zeichnerische Lösung.
Zeichnen kannst du das einfach z. B. mit Geogebra: https://www.geogebra.org/geometry
gibt noch nen feinen Unterschied, ob man etwas löst, lösen lässt, oder aber die Lösung hat und nurnoch verifiziert^^
Ich habe dem User nicht die ganze Arbeit abgenommen, falls du darauf hinaus willst.
Selbst wenn der Lehrer gerne möchte, dass die Schüler selber zeichnen, ist es von Vorteil, es sich zuvor von einem Plotter zeichnen zu lassen.
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Man könnte sich noch überlegen, wie die Formel hergeleitet wurde. Aber da bin ich mir nicht sicher, ob das schon zu weit führt.
ah ja das mit den Mittelsenkrechten hatte ich auch noch in Erinnerung, wusste aber nciht mehr ob das zum Umkreis, Inkreis oder beidem gehört