Funktion x-Wert herausfinden?
Hallo,
ich habe die Funktion
f(x) = x3 -18x2 + 81x
gegeben.
Und ich soll für f(x)= 80 einsetzten und sozusagen auf X auflösen. Da aber die Funktion nicht Hoch 2, sondern Hoch 3 ist, weiß ich nicht, wie es funktionieren soll. Kann mir jemand rechnerisch helfen?
4 Antworten
Du sollst also die Gleichung
lösen. Das ist eine Gleichung dritten Grades, für die es zwar Lösungsverfahren gibt, die aber sehr schwer anzuwenden sind. Üblich ist es daher, eine Nullstelle zu erraten und mit Hilfe von Polynomdivision abzuspalten. Gibt es eine ganzzahlige Nullstelle, so steckt sie als Faktor im Absolutglied, hier also der -80.
Allerdings verrät dir
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
dass diese Gleichung keine ganzzahlige Nullstelle und nebenbei überhaupt nur eine reelle Nullstelle hat. Diese bestimmst du am besten numerisch, zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren oder mit der Regula Falsi.
Nachtrag: Ich habe mich beim Eintippen bei Arndt Brünner vertippt und statt -80 80 eingegeben. Die Gleichung hat drei reelle Nullstellen, siehe auch den Beitrag von @Tannibi. Sorry für die Verwirrung!
Hallo,
in der Schule werden solche Aufgaben in der Regel so gestellt, daß es mindestens eine ganzzahlige Lösung gibt. Solche ganzzahligen Lösungen findest Du - falls es welche gibt - unter den Teilern der Zahl ohne x in der Gleichung.
x³-18x²+81x-80=0 könnte eine ganzzahlige Lösung besitzen, die muß dann ein Teiler von 80 sein, also x=±1; ±2; ±4; ±5; ±8; ±10; usw. bis ±80.
Meist muß man nicht lange suchen. Setze die Teiler der Reihe nach für x ein und prüfe, ob die Gleichung für einen von ihnen gleich Null wird.
Hier wäre das bei x=5 der Fall.
Du machst danach eine Polynomdivision durch (x-5) und erhältst ein quadratisches Restpolynom, das dann mit der pq-Formel gelöst werden kann, nachdem es auf Null gesetzt wurde.
Wenn Du zum Probieren das Horner-Schema (Googlen) benutzt, liefert es Dir das Restpolynom beim richtigen Wert für x automatisch dazu, so daß die Polynomdivision unnötig ist (die hast Du, wenn Du nach diesem Schema vorgehst, nebenbei schon miterledigt).
Herzliche Grüße,
Willy
Um die Gleichung f(x) = 80 aufzulösen und x zu finden, musst du die Gleichung nach x auflösen. Da es sich bei der Funktion f(x) um eine kubische Funktion handelt, ist es normalerweise schwierig, sie algebraisch nach x aufzulösen. Eine Möglichkeit, die Lösung zu finden, besteht darin, die Gleichung graphisch zu lösen oder numerische Methoden wie das Newton-Raphson-Verfahren oder das Bisektionsverfahren anzuwenden.
Das Newton-Raphson-Verfahren ist ein numerisches Verfahren, mit dem man Näherungswerte für Nullstellen von Funktionen finden kann. Dabei wird eine Schätzung x0 ausgewählt und dann die folgende iterative Formel verwendet, um x zu finden:
x = x0 - f(x0)/f'(x0)
Dabei ist f'(x) die Ableitung von f(x). Man wiederholt diesen Schritt, bis man eine ausreichend genaue Näherung für x gefunden hat.
Beim Bisektionsverfahren wird die Funktion in einem Intervall [a,b] untersucht, in dem f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben. Man wählt dann einen Punkt c im Intervall [a,b], berechnet f(c) und schaut, in welchem der beiden Intervalle [a,c] oder [c,b] sich eine Nullstelle befindet. Man wiederholt den Prozess, bis man eine ausreichend genaue Näherung für x gefunden hat.
Beide Methoden erfordern jedoch ein gewisses Maß an numerischen Fähigkeiten. Eine einfachere Methode besteht darin, die Gleichung graphisch zu lösen, indem man die Funktion f(x) in einem Graphen zeichnet und die Schnittpunkte mit der horizontalen Linie y = 80 abliest.
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
Du hast damit die Gleichung
x³ - 18 x² + 81 x = 80
und sollst die x'e bestimmen, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst bringst du dafür die 80 auf die andere Seite, dann hast du
x³ - 18 x² + 81 x - 80 = 0
Wie andere schon gesagt haben, ist das eine kubische Gleichung, dafür gibt es zwar eine Lösungsformel, aber die hat man üblicherweise nicht im Kopf. Daher versucht man hier, eine Lösung zu raten. Dabei hilft folgendes: Jede ganzzahlige Lösung muss ein Teiler des absoluten Gliedes sein, das ist hier -80. Also musst du "nur" die Zahlen
1, -1, 2, -2, 4, -4, 5, -5, 8, -8 usw einsetzen. (Tipp: man kann sich auch ohne Ausrechnen überlegen, warum 2/-2 und 4/-4 nicht gehen), dann kommt man schnell darauf, dass 5 eine gesuchte Nullstelle ist. Dann den Faktor (x-5) abspalten, pq-Formel für den Rest und schon hat man die drei Lösungen.