Gaußsche Summenformel Herleitung?
Ich habe versucht die Formel herzuleiten aber ich habe ein Problem. Ich habe eine Formel für die geraden Zahlen von 1-n (2,4,6,8,10,...) und eine für die ungeraden Zahlen von 1-n (1,3,5,7,9,...). Ich kann beide Formel natürlich addieren und dann kommt das Gesamtergebnis raus. Das Problem ist, dass wenn die zuletzt addierte Zahl ungerade ist, z.B. (1 - 99), ich bei der ungeraden-Formel eins dazuzählen muss und zur geraden-Formel eins dazuzählen muss. Das muss ich bei einer zuletzt addierten geraden Zahl nicht machen.
Fomel um alle geraden Zahlen zusammenzuzählen von 1 - n:
n/2(n/2 + 1)
für ungerade Zahlen lautet sie:
(n/2)^2
Ich muss bei der ungeraden-Formel eins dazuzählen und bei der geraden Formel eins abziehen, sonst würde beim dividieren eine Bruchzahl rauskommen.
Wenn die zuletzt addierte Zahl gerade ist stimmt das Ergebnis immer.
Wie kann ich die Formel mit meinen beiden oberen Formeln also herleiten?
2 Antworten
Du kannst auf die Weise auch wieder nur zwei Formeln entwickeln, eine mit gerader eine mit ungerader oberer Grenze.
Es ist doch viel einfacher, eine Formel direkt zu entwickeln - die Summe entspricht dem Durchschnitt mal der Anzahl.
Ein Beweis ist ohnehin per vollständiger Induktion zu liefern.
Ergänzung: Aus Deiner ersten Formel allein kannst Du natürlich die Formel herleiten:
1+2+3+...+n = (2+4+6+...+2n)/2
Nehmen wir ein gerades n=10 an, 1+10 + 2+9 + 3+8 + 4+7 + 5+6 -> Jede Gruppe ergibt n+1, ich habe n/2 Gruppen, als n/2*(n+1), Soweit so klar.
Nehmen wir ein ungerades n, der Einfachheit 11, dann nehmen wir 11 +(ebengerade die Lösung) 11 ist jetzt mein n, ich habe jedoch 5 Gruppen plus die alleine stehende 11, also 6 mal die 11. 11 ist n, 6 ist (n-1)/2+1. Wir erweitern 1 zu 2/2 und erhalten somit (n-1+2)/2=(n+1)/2. Das ganez n mal und erhalten (n+1)*n/2.
Ganz einfache Kiste.
So einfach ist die Herleitung, Die Korrektheit würde man nun über eine vollst. Induktion zeigen.