Flächeninhalt eines Dreiecks mit Tangente bestimmen?
Hallo, ich habe eine Matheaufgabe aufbekommen aber keine Ahnung wie sie gerechnet wird. Ich hoffe jemand kann mir helfen. Danke im Vorraus.
Bestimmen sie näherungsweise den Flächeninhalt des Dreiecks, den die Tangente t an den Graphen der Funktion f mit f(x)=sin(x)+2 im Punkt P(pi/f(pi)) mit der Geraden n mit n(x)=x-1,14 und der x-Achse einschließt.
1 Antwort
Am Besten machst du dir erstmal eine vernünftige Skizze:
Es gilt
Damit stellst du die Gleichung für die Tangente t(x) durch P auf:da
Die Höhe h deines Dreiecks ist einfach der Funktionswert an der Stelle pi, also f(pi)=2.
Für die Grundseite g brauchst du die Nullstellen der beiden Geraden:Der Abstand beider Nullstellen beträgt 4 und ist damit die Länge deiner Grundseite g.
Das Dreieck hat also die Fläche
Naja, du brauchst meinetwegen die Gleichung für die Tangente hier tatsächlich nicht. Allerdings musst du zumindest ja begründen, wieso es sich um ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck handelt. Und das ist hier ja grade nur der Fall, weil die beiden Geraden als Steigungen -1 und 1 haben. In allen anderen Fällen wäre das entstehende Dreieck ja nicht gleichschenklig und dann wüsste ich keine andere Möglichkeit, als das so zu machen, wie ich es oben gemacht habe. Da die Variante von mir oben eben in allen Fällen funktioniert, egal welche Steigungen Tangente und Normale haben, find ich das um das Prinzip zu erklären deutlich sinnvoller als jetzt für einen einzigen Spezialfall zu zeigen, dass es dafür auch einfacher geht. Klar hast du Recht, dass man es erwähnen kann, dass es in diesem Fall auch mit etwas weniger Aufwand geht. Aber die Frage ist, ob sowas dann die Leute nicht mehr verwirrt als wenn man ihnen einmal erklärt, wie man es eben rechnerisch lösen kann und wie es eben immer funktioniert.
Wenn man die Zeichnung anschaut, kann man eigentlich auch sofort erkennen, dass man da ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe 2 hat !