Flächeninhalt des Dreiecks begrenzt durch tangenten berechnen?
Bestimmen sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0/ f(x0)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.
Gegeben: f(x)=0,5x²+2 ; n(x)=-0,5x+5 ; x0=2
Bitte ausführlich erklären warum ihr welchen schritt macht und danke im voraus :)
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Hallo Moneyboy2
Gegeben ist 1. die Parabel f(x) = 0,5x² + 2. Deren Ableitung ist f'(x) = x.
Gegeben ist 2. der Punkt P(xoIf(xo)) mit xo=2 auf der Parabel, der der Berührpunkt für die noch zu ermittelnde Tangente g(x) an die Parabel ist. Mit xo=2 erhält man f(xo) = 0,5*(2)² + 2 = 2+2 = 4. Damit erhält man also P(2I4). Die Tangente durch P hat die Steigung m = f'(2) = 2. Ihre allgemeine Gleichung lautet g(x) = mx + t. Setzt man m=2 und die Koordinaten von P ein (sie geht ja durch P), so erhält man: 4 = 2*2 + t. Also ist t=0 und g(x) = 2x. Diese Tangente g(x) geht also durch den Koordinatenursprung O(0I0) und durch P und stellt eine Seite des zu berechnenden Dreiecks dar. O(0I0) ist somit ein Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks.
Gegeben ist 3. die Gerade n(x) = - 0,5x + 5. Diese Gerade schneidet die x-Achse bei y=0: 0= -0,5x+5. Daraus folgt x=10. Dieser Punkt S(10I0) ist der zweite Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks.
Der dritte Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks ist der Schnittpunkt der Geraden n(x) mit der Tangente g(x): n(x)=g(x); ---> -0,5x+5 = 2x; ---> 5=2,5x; ---> x=2; ---> y=2*2 =4. Der 3. Eckpunkt ist also identisch mit P(2I4).
Das gesuchte Dreieck hat demnach die Grundlinie g = OS (=10) und die Seiten OP und SP. Seine Höhe ist gleich dem y-Wert von P, also h = 4. Damit ist seine Fläche gleich A = (1/2)gh = 0,5*10*4 = 20.
Es grüßt HEWKLDOe.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Danke diese Erklärung hat mir sehr viel weiter geholfen !
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nachtrag: Ich habe gerade gesehen, dass OP und SP im Punkt P auf einander senkrecht stehen, dort also einen rechten Winkel bilden. Das Dreieck OPS ist also ein rechtwinkliges Dreieck. Man erkennt auch, dass für die Steigungen m=2 der Tangente und m'=-0,5 der Geraden n die Beziehung m=-1/m' gilt, woraus man ebenfalls sehen kann, dass die beiden Geraden senkrecht auf einander stehen. Wenn du dir alles in einer Skizze aufzeichnest, dann kannst du das gut sehen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RIDDICC/1514118406711_nmmslarge__377_0_256_256_4d25821de49a0a50641820db6fe23eed.png?v=1514118407000)
- erstmal ne Zeichnung: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7Bf(x)%3D0.5x%C2%B2%2B2+;+n(x)%3D0.5x%2B5+;+f(2);+t(x)%3D2x%7D+where+-11%3Cx%3C4
- also der erste Eck-Punkt des Dreiecks ist ersichtlich P1(-10/0)
- der zweite dann der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse
- der dritte der Schnittpunkt der Tangente mit n(x)
- dazu brauchen wir nun erstmal diese Tangente: ein Punkt auf der Tangente ist Pt1(x0/f(x0))=Pt1(2/4); die Steigung ist f'(x0)=f'(2)=2 (mit f'(x)=2·0,5·x=x)... ein zweiter Punkt auf der Tangenten ist dann also: Pt2(2+1/4+2·1)=Pt2(3/6)... also ist die Tangenten-Gleichung t(x)=a·x+b gegeben durch t(2)=4 und t(3)=6... zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten (a und b)... 4=2a+b und 6=3a+b ==> 4-2a=6-3a ==> a=2 ==> 6-3·2=b=0
- danach hat man dann also die Fläche des Dreiecks ausrechnen... da gibt s bestimmt ne passende Formel in der Formelsammlung...
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Mit x0 wird normaler Weise die Nullstelle angegeben, aber f(x) hat keine Nullstelle! Es muss geklärt werden, was oder wie groß x0 ist!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ok habs überlesen x0=2! Von f(x) die 1. Ableitung im Punkt 2 bilden(Steilheit) und die Tangentengleichung aufstellen. Dann die jeweilige Nullstelle von Tangente und n(x) bestimmen und den Schnittpunkt von Tangente = n(x), dann hast du alle 3 Eckpunkte deines Dreiecks!
Ich habe mich vertan, ich habe bei n(x)=0,5x+5 das "-" vergessen also n(x)=-0,5x+5. Aber es ist ja im prinzip gleich oder?