Extremwertaufgaben/ Extremwertprobleme: komme nach der Zielfunktion nicht mehr weiter
Wie bereits gesagt habe ich da ein Problem. Ich verstehe das Prinzip von diesen Extremwertaufgaben, kann Haupt- und Nebenbedingung aufstellen, umformen, einsetzen. Wenn ich dann aber meine Zielfunktion habe, verstehe ich irgendwie nicht wie das mit den Ableitungen klappt. Wenn ich jetzt die erste Ableitung von der Zielfunktion bilde, was mache ich eigentlich damit? Rechne ich Nullstellen aus oder nur einen x Wert? und dann die 2. Ableitung? Ich kann da nie einen x Wert von der 1. Ableitung absetzen, weil da immer nur eine Zahl rauskommt wie -2 oder so.. Ich verstehe einfach nicht was ich mit den Ableitungen erreiche :( Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen, danke schonmal
3 Antworten
Die Zielfunktion f(x) hat an der Stelle x = x0 höchtens dann ein Extremum ( = Hoch- oder Tiefpunkt), wenn f'(x = x0) = 0 ist (1)
f hat mindestens dann einen Hochpunkt bei x = x0, wenn f'(x0) = 0 und f''(x0) < 0 ist. (2a)
f hat mindestens dann einen Tiefpunkt bei x = x0, wenn f'(x0) = 0 und f''(x0) > 0 ist. (2b)
Um die Bedingung (1) zu prüfen, brauchst du die erste Ableitung, und um die Bedingungen (2a) und (2b) zu prüfen, die zweite.
Diese Zusammenhänge sind einfach zu prüfen und reichen sehr oft aus, um Extremwertaufgabe zu lösen. Aber nicht immer:
(a) f'(x0) = 0 ist auch möglich, ohne dass f(x) bei x = x0 ein Extremum hat (deswegen oben die Formulierung "hat höchstens dann"). - Beispiel:
f(x) = x³, f'(x) = 3x²;
für x = 0 ist f'x) = 0, aber f hat bei x = 0 trotzdem kein Extremum (sondern einen Terrassenpunkt).
(b) f(x) kann auch ein Extremum haben, ohne dass f'(x0) < 0 oder f'(x0) > 0 ist (deswegen oben die Formulierung "hat mindestens dann"). - Beispiel:
f(x) = x^4, f'(x) = 4x³; f''(x) = 12x²;
für x = 0 ist f''(x) = 0, aber f hat bei x = 0 trotzdem ein Minimum.
Wenn f''(x0) = 0 ist, kannst du überhaupt nichts sagen, denn auch wenn f'(x0) = 0 ist, kann in diesem Fall f(x) bei x0 ein Extremum haben oder eben nicht.
Dann hilft die "Äquivalenzbedingung Vorzeichenwechsel der Ableitung", Klartext:
Die Zielfunktion f(x) hat an der Stelle x = x0 genau dann ein Extremum ( = Hoch- oder Tiefpunkt), wenn
- f'(x = x0) = 0 ist und
- f' in einer Umgebung von x0, die keine weitere Nullstelle von f'(x) enthält,
- das Vorzeichen wechselt. (3a)
Wenn von der Aufgabenstellung her sowieso klar ist, um welche Art Extremum es geht, bis du dann fertig. Wenn nicht:
Die Zielfunktion f(x) hat an der Stelle x = x0 genau dann einen Hochpunkt , wenn
- f'(x = x0) = 0 ist und
- f' in einer Umgebung von x0, die keine weitere Nullstelle von f'(x) enthält,
- das Vorzeichen von + (links von x0, also für x < x0) nach - (rechts von x0 , also für x > x0) wechselt. (3b)
Die Zielfunktion f(x) hat an der Stelle x = x0 genau dann einen Tiefpunkt , wenn
- f'(x = x0) = 0 ist und
- f' in einer Umgebung von x0, die keine weitere Nullstelle von f'(x) enthält,
- das Vorzeichen von - (links von x0, also für x < x0) nach + (rechts von x0 , also für x > x0) wechselt. (3c)
(3a) bis (3c) ist zwar manchmal etwas umständlicher zu rechnen, aber es funktioniert immer. - So, nun müsstest du gerüstet sein.
Die Ableitungsfunktion zeigt die Steigung im Punkt X an. Wenn du also z.B. in der Ableitungsfunktion für X 2 einsetzt, dann ist Y gleich der Steigung der Ausgangsfunktion (also vor der Ableitung) im Punkt X. Die zweite Ableitung gibt den 0-Punkt der Ausgangsfunktion an. Wenn da also nur -2 herauskommt, hat deine Ausgangsfunktion bei -2 ihren Scheitelpunkt.
f(x)= 25x-x²,
f'(x)= 25-2x, wenn du die Gleichung jetzt y=0 setzt, erhälst du mit X alle Punkte, in denen die Steigung null ist (also Sattelpunkte, Tiefpunkte, Hochpunkte).
f''(x)=-2, das ist dann widerum die Steigungsfunktion der Steigungsfunktion. Bei einer Parabel hast du mit deinem x-Wert aus der ersten Ableitung den Hochpunkt der Funktion
An der Stelle x=12,5 hat die Ausgangsfunktion, da die zweite Ableitung kleiner als Null ist, einen Hochpunkt (Maximum).
LG
Nur das zweite beachten, mein erster Kommentar war Kappes ;)
die 1. Ableitung gleich 0 setzen und x ausrechnen; wenn 2.Ableitung zB =-2 dann hast du bei dem ausgerechnetem x-Wert der 1. Ableitung einen Hochpunkt; wie es in der Aufgabenstllung vermutlich auch schon gefordert war.
was bedeutet das also, wenn die erste ableitung 25-2x ist und da 12,5 rauskommt, die zweite ableitung -2 ist?