Extremwertaufgabe -> Spiegelglas
Ein Stück Spiegelglas hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten 50cm bzw 80cm lang sind. Durch zwei Schnitte mit einem Glasschneider soll ein rechteckiger Spiegel entstehen. Wie lang sind die Schnittkanten x und y zu wählen, damit die Spiegelfläche maximal wird?
Hinweis: Die Beziehung zwischen x und y (Nebenbedingung) erhält man mithilfe des Strahlensatzes.
2 Antworten
Ich lege das Spiegeldreieck so in den 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems, dass die 80 cm lange Kathete auf der x-Achse und die 50 cm lange Kathete auf der y-Achse zu liegen kommt (Skizze anfertigen!)
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Die Hypotenuse hat dann die Geradengleichung:
y = - 5 / 8 x + 50
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Zu bestimmen ist nun ein Punkt P ( xp | yp ) auf dieser Geraden, von dem aus man das flächengrößte Rechteck aus dem Spiegeldreieck herausschneiden kann.
Hat man diesen Punkt bestimmt, dann beträgt der Flächeninhalt F des herauszuschneidenden Rechteckes:
F = xp * yp
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Dieser Wert soll maximiert werden.
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Die y-Koordinate yp eines jeden Punktes auf der Geraden erhalte ich durch Einsetzen von x = xp in die Geradengleichung, also:
yp = - ( 5 / 8 ) * xp + 50
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Dies setze ich in die zu maximierende Funktion
F = xp * yp
ein und erhalte:
F = xp * ( - ( 5 / 8 ) * xp + 50 )
= - ( 5 / 8 ) * xp ^ 2 + 50 * xp
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Zur Bestimmung des Maximuns dieser Funktion setze ich deren Ableitung
F ' ( xp ) = 2 * ( - ( 5 / 8 ) )* xp + 50
= 50 - ( 5 / 4 ) * xp
gleich Null und berechne daraus xp:
50 - ( 5 / 4 ) * xp = 0
<=> 50 = ( 5 / 4 ) * xp
<=> xp = 50 * 4 / 5 = 40
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Höchstens an der Stelle xp = 40 liegt ein Maximum von F vor.
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Um zu prüfen, ob dort tatsächlich ein Maximum vorliegt, bilde ich die zweite Ableitung, setze dort xp = 40 ein und prüfe, ob das Ergebnis negativ ist. Ist das der Fall, dann liegt tatsächlich ein Maximum vor.
Also:
F ' ' ( xp ) = - ( 5 / 4 )
ist negativ.
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Somit liegt an der Stelle xp = 40 tatsächlich ein Maximum von F vor.
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Die zu xp gehörende Koordinate yp ist (Einsetzen in die Geradengleichung)
yp = - ( 5 / 8 ) * xp + 50
= - ( 5 / 8 ) * 40 + 50 = 25
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Der Flächeninhalt des maximal herausschneidbaren Rechteckes beträgt somit:
Fmax = 40 * 25 = 1000 cm ^ 2 = 0,1 m ^ 2
A=x*y
y/(80-x) 50/80
y= 5/8(80-x)
A(x) = 5/8(80-x)*x cm Ausmultiplizieren, differrnzieren usw.
(Kontrolle: x = 40 , y =25 cm)