Es sollen 100 Tiere um € 100 gekauft werden, wobei das Huhn 0,50 €, die Ente 4,00 € und der Hase 6,00 € kostet wie viele Tiere von jeder Sorte brauche ich?
5 Antworten
Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.
x = Anzahl der Hühner
y = Anzahl der Enten
z = Anzahl der Hasen
I) x + y + z = 100
II) 0,5 x + 4 y + 6 z = 100
2 * II) ergibt: x + 8 y + 12 z = 200
Nun zieht man I von II ab:
II - I) (x-x) + (8 y - y) + (12 z - z) = 200 - 100
also 7y + 11 z = 100
Eine Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen, aber nur eine begrenzte Anzahl ganzzahliger Lösungen.
Wir suchen also ein ganzzahliges Vielfaches von 7, das zusammen mit einem ganzzahligen Vielfachen von 11 genau 100 ergibt. Wenn man sich das 1 x 7 aufschreibt und dagegen das 1 x 11 jeweils von 100 abzieht (89; 78; 67; 56; 45; 34; 23; 12; 1) wird man nur auf eine übereinstimmende Zahl stoßen, nämlich die 56. Dies sind 8 * 7 und (100 - (4 * 11)).
Also hat man mit 8 Enten und 4 Hasen zu rechnen.
Da x + y + z = 100, ist somit auch x bekannt: x = 100 - 8 - 4 = 88.
Die Probe ergibt, dass die Gleichung richtig aufgeht:
88 * 0,5 € + 8 * 4 € + 4 * 6 € = 44 € + 32 € + 24 € = 100 €.
Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigt man das Wissen um die sogenannte "Diophantische Gleichung"
und um den größten gemeinsamen Teiler. Also Gleichungen der Art ax+by=c Diese lassen sich nur lösen,
wenn der ggt von a und b, c teilt. Gleichungen dieser Art ergeben sich,
wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen,
wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn bei Problemen in der Praxis nur
ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind. Das Wissen um den "erweiterten euklidischen Algorithmus",
um den größten gemeinsamen Teiler, also den ggt zu errechnen und ein wenig Algebra ist auch gefragt.
Denn um die Gleichung ax+by=c erhalten zu können, um nachher mit der diop. Gleichung die Lösungen zu errechnen,
muss man für die angeführte Aufgabe erst einmal 2 algebraische Gleichungen aufstellen und die voneinander abziehen,
also eine Variable eliminieren,
um von 3 auf 2 Unbekannte zu kommen. Am Besten den YouTube Kanal von Professor Christian Spannagel aufrufen und
dort die entsprechenden Erklärungen zur dioph. Gleichung und erw. eukl. Algo. ansehen. Mit diesen Werkzeugen lassen
sich Augaben dieser Art leicht lösen.
hü + e + ha = 100
0,5 * hu + 4 * e + 6 * ha. Zweite Gleichung mal zwei und minus die erste
7 * e + 11 * ha = 100
Das ist eine diophantische Gleichung, in der nur positive Lösungen erlaubt sind, damit gibt es nur wenige Lösungen und diese sind
ha = 4 => e = 8 => hü = 88
Das nächste wäre ha = 4 + 7 = 11,=> 7 * e = 100 - 11 * 11 = -21, dies geht nicht
Also gibt es nur die eine Lösung
4 Hasen, 8 Enten und 88 Hühner.
Gleichungssystem mit 2 Gleichungen:
a + b + c = 100
0,5a + 4b + 6c = 100
Von all den Lösungen dieses Gleichungssystems, nimmst du dann DIE Lösung, wo a, b, und c alle positiv und ganzzahlig sind.
Knapp und richtig. Allerdings erzählst du nicht, wie man auf die Lösungen des Gleichungssystems kommt. Vermutlich gibt es Computerprogramme, die man einfach mit den Gleichungen füttern kann, und die dann alle Lösungen ausspucken (vielleicht sogar in programmierbaren Taschenrechnern). Man kann lineare Gleichungssysteme ja auch in Matrizenform ausdrücken.
In dem Mathematikunterricht, den ich bisher genossen habe, musste man auf die Lösungen von Gleichungssystemen ohne elektronische Hilfe kommen.
Magst du vielleicht erzählen, nach welcher Methode du vorgehst?
Gute Antwort. Ich bin schon lange aus der Schule raus und konnte mich kaum erinnern. Diesen Film fand ich gut :)
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/lineare-gleichungssysteme-loesen-mathematik.html
Salue
Ich bin die Sache mal so angegangen:
Zuerst überlege ich mir, wie etwa das Resultat aussehen müsste. Bei den Horrorpreisen für die Enten und den Hasen werde ich wohl viele Hühner kaufen müssen.
Wenn ich 80 Hühner kaufe, dann fehlen mir nur noch 20 Tiere, dafür habe aber noch 60 Euros in der Tasche. Wenn ich 20 davon kaufen muss, reicht das nicht.
Probieren wir es mal mit 88 Hühnern. Da hätte ich nur noch 12 Viecher zu kaufen und hätte dafür noch 56 Euros. Also 4.666 pro Vieh. Das liegt zwischen 4 und 6 Euros und liegen näher bei 4 als bei 6 Euros, also mehr Enten als Hasen kaufen.
Also kaufen wir mal 8 Enten (32 Euro) und nur 4 Hasen (24 Euro), zusammen also 56 Euro. Okay, meine Kasse hat genauso viel übrig.
Mit meinen 100 Viechern kann ich sogar züchten, vorausgesetzt, es handelt sich um 87 Hühner und einen Hahn.
Meine Methode entspricht nicht ganz der Regeln von Algebra. Sie ist aber schnell, da sie nur auf Logik aufbaut.
Es grüsst Dich
Tellensohn
Vielen Dank für die Schilderung der Probier-Methode. Bei einfachen Aufgaben mag sie funktionieren. Man macht aber, wenn man sich verschätzt, und nicht gleich so schnell wie du die richtigen Zahlen rät, deutlich mehr Rechenschritte als eigentlich notwendig wäre.
Ich würde auf jeden Fall ein Gleichungssystem mit drei Variablen aufstellen. Dann hat man einen guten Überblick, kann eine Variable eliminieren und hat dann nur noch eine kleine Schätzaufgabe übrig (falls man nicht das Gleichungssystem in ein elektronisches Lösungsprogramm eingibt).
88 Hühner
8 Enten
4 Hasen