Dreiecksmatrix nilpotent?
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgendem Beweis.
Es sei eine Dreiecksmatrix C aus C^n x n
zu zeigen ist dass Dreiecksmatrizen nilpotent sind.
Danke im Vorraus!
2 Antworten
Die Behauptung stimmt so nicht -- die Einheitsmatrizen sind Dreiecksmatrizen, idempotent und ungleich den entsprechenden Nullmatrizen.
Aus einem Kommentar weiß ich, dass es sich um "strikte Dreiecksmatrizen" handelt.
Der Beweis ginge mit vollständiger Induktion über n.
Induktionsanfang:
Die 1x1-Nullmatrix ist trivialerweise nilpotent (im weiteren Sinne, da sie ja schon die Nullmatrix ist, also nicht im eigentlichen Sinne nilpotent ist; aber das schadet hier ja nicht, sofern der Fall n = 1 zugelassen ist)
(Alternativ: für eine 2x2-Dreiecksmatrix mit verschwindenden Diagonalelementen lässt sich die Nilpotenz leicht ausrechnen)
Induktionsschritt von n auf n+1:
Wenn die nxn-Matrix um eine Spalte rechts und um eine Nullzeile unten erweitert wird, wird die linke obere nxn-Teilmatrix durch Multiplikation mit einer beliebigen strikten Dreiecksmatrix durch die hinzugekommenen Elemente nicht beeinflusst, ist also ihrerseits nilpotent. Die unterste Zeile bleibt bei der Multiplikation ebenfalls der Nullvektor.
Das Produkt der Matrix, bei der nur in der rechten Spalte Werte ungleich 0 stehen (und der unterste hiervon doch wieder 0 ist) mit einer solchen Dreiecksmatrix ist die (n+1)x(n+1)-Nullmatrix.
Damit ist eine strikte (n+1)x(n+1)-Dreiecksmatrix ebenfalls nilpotent (übrigens von höchstens (n+1)-ter Ordnung, wie man durch eine kleine Erweiterung des Beweises ebenfalls sieht).
Ich hab ehrlich gesagt bislang nur ein bisschen rumgerechnet und mir klargemacht, dass bei Multiplikation von strikten oberen Dreiecksmatrizen jeweils eine Blockmatrix zur Nullmatrix wird... bis dann schließlich die Matrix aus „mehreren Blockmatrizen“ besteht
Probier es mal hiermit:
aus
( a_11 a_12 ... a_1n ) ( b_11 b_12 ... b_1n ) ( c_11 c_12 ... c_1n )
( a_21 a_22 ... a_2n ) ( b_21 b_22 ... b_2n ) ( c_21 c_22 ... c_2n )
( . . . . ) ( . . . . ) ( . . . . )
( . . . . ) • ( . . . . ) = ( . . . . )
( . . . . ) ( . . . . ) ( . . . . )
( a_n1 a_n2 ... a_nn ) ( b_n1 b_n2 ... b_nn ) ( c_n1 c_n2 ... c_nn )
folgt
( a_11 a_12 ... a_1n a'_1(n+1) ) ( b_11 b_12 ... b_1n b'_1(n+1) ) ( c_11 c_12 ... c_1n c'_1(n+1) )
( a_21 a_22 ... a_2n a'_2(n+1) ) ( b_21 b_22 ... b_2n b'_2(n+1) ) ( c_21 c_22 ... c_2n c'_2(n+1) )
( . . . . . ) ( . . . . . ) ( . . . . . )
( . . . . . ) • ( . . . . . ) = ( . . . . . )
( . . . . . ) ( . . . . . ) ( . . . . . )
( a_n1 a_n2 ... a_nn a'_n(n+1) ) ( b_n1 b_n2 ... b_nn b'_n(n+1) ) ( c_n1 c_n2 ... c_nn c'_n(n+1) )
( 0 0 ... 0 0 ) ( 0 0 ... 0 0 ) ( 0 0 ... 0 0 )
(Tut mir leid -- du müsstest dir das in den Editor oder so kopieren, weil die Code-Ausgabe von gutefrage.net z. Z. eigenmächtig Zeilenumbrüche einfügt (statt eines horizontalen Scrollbalkens wie bei verwendbaren Codedarstellungen))
Dann ersetzt du (a_ij) und (b_ij) durch strikte obere Dreiecksmatrizen und zeigst, dass das immer noch stimmt; dann (a_ij) durch die Nullmatrix.
(a_ij) stellt dann die sukzessiven Potenzen von (b_ij) dar.
Handelt es sich bei C um eine echte Dreiecksmatrix (alle Einträge unter der Hauptdiagonale sind Null, mind. ein Eintrag der Hauptdiagonalen ist nicht Null) oder um eine strikte (alle Einträge unter und auf der Hauptdiagonalen sind Null)?
Also eine strikte.
Wähle dir mal eine beliebige 3X3 oder 4X4-Matrix A aus und multipliziere diese mit einem 3X1 bzw 4X1-Vektor ungleich 0. Was passiert immer mit der ersten Komponente des entstehenden Vektors?
Führe das Spiel nun für A², A³ usw. fort. Was passiert immer mit der zweiten, dritten usw. Komponente des entstehenden Vektors?
Leuchtet dir damit schon eine Beweisskizze ein? (Tipp: A^n * x = 0 => A^n=0 für diesen Fall. Die Null ist hierbei der 3X1-Nullvektor)
Korrektur:
Was passiert immer mit der ersten Komponente des entstehenden Vektors? muss heißen:
Was passiert immer mit der letzten Komponente des entstehenden Vektors?
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Was passiert immer mit der zweiten, dritten usw. Komponente des entstehenden Vektors? muss heißen:
Was passiert immer mit der vorletzten, vorvorletzten usw. Komponente des entstehenden Vektors?
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Die Null ist hierbei der 3X1-Nullvektor muss heißen:
Die Null ist hierbei der nX1-Nullvektor.
Danke schon mal! Ich hab jetzt versucht per induktion zu zeigen, dass bei k+1 für A^k* x beim Lösungsvektor immer ein Diagonaleintrag = 0 wird und irgendwann bei einem bestimmten k ist ja logisch dass A^k*x = 0... weiß aber nicht wirklich weiter gerade...
Du zeigst, dass für A^n das Produkt A^n * v = 0 ist, für alle n.
Hierzu darfst du annehmen, dass das Produkt A^k * v für ein bestimmtes k bereits 0 ist. Zu zeigen ist dann, dass auch A^(k+1) = 0 ist. Dann ist die Induktion vollständig abgelaufen, denn aufgrund des Induktionsanfangs (siehe unten) ist A^n=0 für n=1, dann also auch für n=2 usw.
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Induktionsanfang (n=1)
Eine strikte 1X1-Matrix kann nur die 1X1-Nullmatrix sein.
=> A^1 = 0, passt also.
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Induktionsschritt:
Gelte A^k * v = 0 für ein beliebiges, aber festes k.
A^(k+1) * v = (A^k * A) * v = ...
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Kannst du damit arbeiten?
Tipp: A ist zu sich selbst kommutativ. Zu was ist A^k * A dann äquivalent?
Nutze danach die Assoziativität der Matrizenmultiplikation.
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Bist du fertig, hast du gezeigt, dass A^n * v = 0 für alle n und v. Daraus folgt dann A^n = 0, da v ein beliebiger Vektor, also nicht zwangsweise der Nullvektor, ist.
Danke! :)
ginge es denn auch über Blockmatrizen, wobei bei jeder Multiplikation eine blockmatrix zur nullmatrix wird?