Primzahlen nicht Quadrat einer rationalen Zahl?
Seien p und q zwei VERSCHIEDENE Primzahlen. Zeige, dass pq nicht Quadrat einer rationalen Zahl ist. Arbeite genau heraus, an welcher Stelle einhergeht, dass p und q verschieden sind.
Zu zeigen, dass p und q verschieden sein müssen, hätte ich jetzt nicht geschafft.
Kann das jemand beweisen?
danke vielmals
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/annaunddielibe/1640701505140_nmmslarge__0_0_3024_3024_72847a07f2b9d9246919acdf825dae2c.jpg?v=1640701505000)
nimm an das pq=r^2 und versuch nen Widerspruch zu finden
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das sollst du auch gar nicht beweisen, sondern diese Eigenschaft musst du bei dem Beweis benutzen. Sonst funktioniert er nicht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Ja natürlich. Wenn sie gleich sind, ist pq immer das Quadrat einer rationalen Zahl, nämlich das von p bzw. q.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Wenn du zwei gleiche natürliche Zahlen multiplizierst, ergibt das trivialerweise immer das Quadrat einer rationalen Zahl.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Es geht um die Frage, warum p und q verschieden sein müssen.
Das müssen sie sein, weil aus zwei gleichen Zahlen eine rationale
Zahl entsteht, was im Gegensatz zur Vorgabe der Aufgabe steht.
Klarer kann ich es nicht ausdrücken.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Genau. Dass p=q sich verbietet, wenn man beweisen will,
dass das Produkt nciht das Quadrat einer rationalen Zahl ist,
ist völlig trivial. p und q sind rational, also ist pq für p = q das
Quadrat einer ratioanlen Zahl.
Also dann wäre ja: (m/n)^2 = pq = p^2 - daraus folgt p = m/n, also eine rationale Zahl. Oder?