Wie zeige ich dass die Differenz/Summe von nilpotente& invertierbare Matrizen ebenfalls nilpotent/invertierbar ist?

3 Antworten

Bei (1) wurde eine Inverse explizit angegeben, das ist eine weitere Möglichkeit, die Invertierbarkeit zu zeigen.

Bei (2) wählt man den Exponenten für die binomische Formel so, dass bei den in der Summe vorkommenden Produkten N^... M^... mindestens einer der beiden Exponenten >= k ist, so dass das Produkt n.V. verschwindet.

Für 1) wurde für den ersten Beweis die verallgemeinerte dritte binomische Formel verwendet. Für den zweiten Beweis einfach nur allgemein bekannte Aussagen über die Matrix-Matrix-Multiplikation.

Für 2) hat @ChrisGE1267 schon alles geschrieben.


ElbertAinstein 
Beitragsersteller
 22.06.2023, 10:28

Beim zweiten Beweis der ersten Frage: Wie kommt man darauf, dass I-M^-1N invertierbar ist?

Von Experte DerRoll bestätigt

Das ist der Binomische Lehrsatz für Matrizen. Dieser gilt nur, wenn die Matrizen (und damit auch ihre Potenzen) kommutieren…

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie