Wie zeige ich dass die Differenz/Summe von nilpotente& invertierbare Matrizen ebenfalls nilpotent/invertierbar ist?
Tägchen
Unten könnt ihr einmal die zwei Aufgaben + die Lösungen anschauen.
Nun kann ich die Lösung leider nicht nachvollziehen und habe folgende Fragen:
1) Um zu zeigen dass eine Matrix invertierbar ist, gibt es ja einige Möglichkeiten. zB vollen Rang nach GaussElimination, Determinante ungleich 0, Existenz einer Inversen Matrix etc. Was wurde nun unten benutzt um daraus zu schliessen dass M-N invertierbar ist? Bzw. wie kommt man auf diese Formel? Binomischer Lehrsatz?
2) Bei der zweiten Aufgabe ist das Ziel klar: Zeigen, dass eine Zahl existiert zB k mit (M+N)^k = 0. Wie kommt man aber auf (M+N)^2k-1 = ∑(2k-1/i)M^iN^2k-1-i? (gelb unterstrichen)
Vielen Dank
Aufgabe:
Lösung:
3 Antworten
Bei (1) wurde eine Inverse explizit angegeben, das ist eine weitere Möglichkeit, die Invertierbarkeit zu zeigen.
Bei (2) wählt man den Exponenten für die binomische Formel so, dass bei den in der Summe vorkommenden Produkten N^... M^... mindestens einer der beiden Exponenten >= k ist, so dass das Produkt n.V. verschwindet.
Für 1) wurde für den ersten Beweis die verallgemeinerte dritte binomische Formel verwendet. Für den zweiten Beweis einfach nur allgemein bekannte Aussagen über die Matrix-Matrix-Multiplikation.
Für 2) hat @ChrisGE1267 schon alles geschrieben.
Beim zweiten Beweis der ersten Frage: Wie kommt man darauf, dass I-M^-1N invertierbar ist?
Das ist der Binomische Lehrsatz für Matrizen. Dieser gilt nur, wenn die Matrizen (und damit auch ihre Potenzen) kommutieren…