Wie beweise ich die Dreiecksungleichung für die A-Norm?
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
In unserem Skript steht:
Daher muss ich diese 3 Eigenschaften für die A-Norm zeigen.
Die ersten beiden waren kein Problem, aber bei der Dreiecksungleichung komme ich gerade einfach nicht weiter.
1 Antwort
Ich würde sagen, es ist am einfachsten zu zeigen, dass durch
ein Skalarprodukt gegeben ist. Dann kann man
als die von dem entsprechenden Skalarprodukt induzierte Norm sehen. Mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhält man dann:
Allgemein kann man damit entsprechend zeigen, dass die von Skalarprodukten induzierten Normen tatsächlich die Dreiecksungleichung erfüllen ...
Vergleiche: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarproduktnorm#Normaxiome
Da also die von Skalarprodukten induzierten Normen tatsächlich Normen sind, müsstest du einfach nachweisen, dass durch
tatsächlich ein Skalarprodukt gegeben ist.
Die positive Definitheit erhält man hier, da die Matrix A positiv definit ist.
Die Symmetrie erhält man hier, da die Matrix A symmetrisch ist.
Die Bilinearität ist auch schnell nachgerechnet.
Uups, sorry. Da habe ich mich verschrieben. Beim ersten Bild (bzw. entsprechend auch beim letzten Bild) passt das so nicht. Die Wurzel muss weg. Es sollte
<x, y> = x^t A y
sein, statt <x, y> = √(x^t A y).
So wie beispielsweise auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Allgemeine_Skalarprodukte_im_Rn_und_im_Cn
Hmm, ich finde ja die idee klingt echt gut, aber wenn <x,y> = sqrt(...) ist, müsste dann nicht (bei dem 2. bild von dir) ||x|| = sqrt(<x,x>) = sqrt(sqrt(...)) sein ?