Wie Beweise ich hier, dass die Gruppe Kommutativ ist?
Hallo. Ich soll folgendes Beweisen:
Es sei (G, ◦) eine Gruppe, welche aus genau zwei verschiedenen Elementen besteht. Zeigen, dass (G, ◦) kommutativ ist.
Wie kann ich hier am besten vorgehen? ich bin noch leider nicht ganz so drin in dem Thema. Habt ihr irgendwelche Video Empfehlungen die ich mir auf YouTube anschauen kann? bei meinem Prof verstehe ich leide nur Bahnhof :p
Danke euch schonmal im Voraus!
2 Antworten
Bezeichnen wir die beiden Elemente der Gruppe mit a und b.
Kommutativität bedeutet, dass das bei dem Operator die beiden Elemente vertauscht werden können ohne dass sich der Wert ändert.
Du musst hier also zeigen, dass a°b=b°a gilt (es gibt keine andere Möglichkeit zwei verschiedene Elemente auszuwählen)
Gruppen haben ein eindeutiges neutrales Element. Überlege dir nun, warum daraus a°b=b°a für diese Gruppe folgen muss.
Wenn du festlegst dass a das neutrale Element ist, ist die Gruppentafel eindeutig. Wenn du also die Axiome der Gruppen anwendest, kannst du rausfinden, welche Werte a°a, a°b, b°a, b°b haben müssen. Das könntest du als Übung für dich selbst machen um die Axiome ein bisschen zu verinnerlichen. (Du kannst auch versuchen es mit einer Gruppe mit 3 Elementen zu machen, wenn du das neutrale Element festlegst, ist auch dort die Gruppentafel eindeutig)
(1) (Nullelement) ∃0 ∈ R ∀x ∈ R : x + 0 = 0 + x = x.
(2) (Additives Inverses) ∀x ∈ R ∃(−x) ∈ R : x + (−x) = (−x) + x = 0
(3) (Assoziativgesetz) ∀x, y, z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z)
(4) (Kommutativgesetz) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x
statt + einfach °
Alles klar, danke!