Differentialgleichung bestimmen?
Wäre nett wie man auf die Lösung schritt für schritt kommt.
Danke
4 Antworten
Das ist ja separierbar!
Auf i(t) umformen - fertig.
Da braucht man nicht mal "Variation der Konstanten".
Abgesehen davon ist das von den Einheiten her Quatsch, aber das haben eh andere schon geschrieben.
Es sei die DGL:
di/dt + cos(t)*i = cos(t)
gegeben. Benutze hier den Ansatz der Variation der Konstanten. Bestimme hierzu die Lösung von:
di/dt + cos(t)*i = 0
also die Lösung der homogenen Gleichung. Hier lässt sich mittels Seperation der Variablen die DGL in die Form (Achtung: Hier informelle Schreibweise ... siehe einfach in entsprechenden Quellen nach ... )
di/i = - cos(t)* dt
bringen. Unbestimme Integration liefert damit
ln(i) = - sin(t)
--> i = exp(-sin(t)) = h
mit h, der homogenen Lösung. Nach Ansatz gelte:
i(t) = h(t)*c(t) ---> di/dt = dh/dt * c(t) + h(t)*dc/dt
und damit durch Einsetzen
dh/dt * c(t) + h(t)*dc/dt + cos(t)*h(t)*c(t) = -cos(t)
Beachte hierbei:
dh/dt * c(t) + cos(t)*h(t)*c(t) = 0
und damit folgt also
h(t)*dc/dt = -cos(t)
Seperation der Variablen liefert dann (wie zuvor auch informelle Schreibweise)
dc = - cos(t)/h(t) * dt
Und damit durch Integration vom Anfangszeitpunkt t0 = 0 bis t
c(t) - c(0) = Int[0, t]{ - cos(s)/h(s) ds }
Und damit durch Umstellen
c(t) = Int[0, t]{ - cos(s)/h(s) ds } + c(0)
Die Lösung der DGL lautet dann nach Ansatz:
i(t) = c(t)*h(t) = ( Int[0, t]{ - cos(s)/h(s) ds } + c(0) ) * exp(-sin(t))
Aus der Anfangsbedingung folgt dann schließlich für c(0) hier durch Einsetzen von t = 0 in die Lösungsformel:
i(0) = 3 = c(0)
Wir erhalten also final für die Lösung der DGL hier:
i(t) = ( Int[0, t]{ - cos(s) * exp(sin(s)) ds } + i(0) ) * exp(-sin(t))
Bzw. durch Zusammenfassen:
i(t) = i(0) * exp(-sin(t)) + Int[0, t]{ - cos(s) * exp(sin(s) - sin(t)) ds }
Stammt diese Aufgabe von einem Physiklehrer oder einem Mathematiklehrer?
Als mathematisches Beispiel einer Differentialgleichung mag sie Sinn ergeben. Eine gültige physikalische Gleichung ist sie aber nicht. Sie ist nämlich nicht dimensionshomogen.
Eine Gleichung kann nur dann einen physikalischen Zusammenhang ausdrücken, wenn ihre beiden Seiten von gleicher Dimension sind und in jeder auftretenden Summe oder Differenz alle Terme von gleicher Dimension sind.
https://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsbetrachtung
In dieser Aufgabe hat jeder der drei Terme eine andere Dimension, wenn man davon ausgeht, daß i, wie behauptet, ein elektrischer Strom sein soll:
- di / dt hat die Dimension Strom / Zeit
- cos(t) · i hat die Dimension Strom
- cos(t) ist dimensionslos
Ich würde deshalb zurückfragen, ob es eine berichtigte Version der Gleichung gibt. Andernfalls ist die vorgeschlagene Deutung als Beschreibung eines Stromkreises sinnlos und darf bzw. sollte ignoriert werden.
also das ist nur ne rein mathematische Aufgabe oben habe ich eine Lösung gefunden
Probier es mal mit Variation der Konstanten.
