warum ist die summe zweier lösungen...?

einer differentialgleichung ebenfalls eine lösung?

Answer 1

[fjf100]

homogene lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten

C1*f1(x)+C2*f2(x) (mit C1 und C2 Konstante)

dies nennt man ein Linearkombination

setzt man die beiden Lösungen f1(x) und f2(x) in die Dgl. ein,so ergibt sich

Ln(C1*f1(x)+C2*f2(x))=C1*f1(x)+C2*f2(x)

Satz:Es seien f1(x) und f2(x) zwei verschiedene Lösungen der linearen homogen Dgl. n.ter Ordnung Ln(y)=0.Dann ist die Linearkombination f(x)=C1*f1(x)+C2*f2(x) ebenfalls eine Lösung dieser Dgl.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 2

[mihisu]

Das stimmt doch im Allgemeinen gar nicht.

Beispielsweise sind durch

$y_1\left(x\right)=x^2$

und

$y_2\left(x\right)=x^2+1$

zwei Lösungen der Differentialgleichung

$y'\left(x\right)=2x$

gegeben.

Betrachte nun die Summe y₁ + y₂ der beiden genannten Lösungen. Dann ist ...

$\left(y_1+y_2\right)\left(x\right)=y_1\left(x\right)+y_2\left(x\right)=x^2+x^2+1=2x^2+1$

$\left(y_1+y_2\right)'\left(x\right)=4x\ne2x$

Die Summe y₁ + y₂ erfüllt demnach nicht die Differentialgleichung y'(x) = 2x.

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Wenn man sich auf homogene lineare Differentialgleichungen beschränkt, stimmt die Aussage jedoch.

Denn wenn T ein linearer Operator ist, so dass nach Definition T(y₁ + y₂) = T(y₁) + T(y₂) ist, so gilt: Wenn y₁ und y₂ Lösungen der Gleichung T(y) = 0 sind, so ist auch die Summe y₁ + y₂ eine Lösung der Gleichung T(y) = 0. Denn wenn

$T\left(y_1\right)=0\ \ \text{und}\ \ T\left(y_2\right)=0$

ist, so erhält man unter Ausnutzung der Linearität von T:

$T\left(y_1+y_2\right)=T\left(y_1\right)+T\left(y_2\right)=0+0=0$

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Wenn man beispielsweise eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung betrachtet, also

$a\left(x\right)\cdot y'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y\left(x\right)=0$

bzgl. der gesuchten Funktionen y, so gilt: Wenn y₁, y₂ Lösungen der Differentialgleichung sind, also wenn

$a\left(x\right)\cdot y_1'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_1\left(x\right)=0$

und

$a\left(x\right)\cdot y_2'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_2\left(x\right)=0$

ist, so ist auch y₁ + y₂ eine Lösung der Differentialgleichung. Denn dann ist ...

$a\left(x\right)\cdot\left(y_1+y_2\right)'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot\left(y_1+y_2\right)\left(x\right)$ $=a\left(x\right)\cdot\left(y_1'\left(x\right)+y_2'\left(x\right)\right)+b\left(x\right)\cdot\left(y_1\left(x\right)+y_2\left(x\right)\right)$ $=a\left(x\right)\cdot y_1'\left(x\right)+a\left(x\right)\cdot y_2'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_1\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_2\left(x\right)$ $=a\left(x\right)\cdot y_1'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_1\left(x\right)+a\left(x\right)\cdot y_2'\left(x\right)+b\left(x\right)\cdot y_2\left(x\right)$ $=0+0$ $=0$

Answer 3

[Luksior]

Das gilt nicht für jede DGL. Für die meisten linearen DGLs kannst du das einfach nachrechnen, da du Ableitungs- und Summenoperator ja vertauschen kannst; die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich die Summe der Ableitungen der beiden Funktionen. Lineare DGLs haben im Wesentlichen die Form x'(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) und wenn der nicht von x abhängige Teil 0 ist (also die DGL die Form x'(t) = A(t)x(t) hat) und x und y Lösungen sind, dann gilt (x+y)'(t) = x'(t)+y'(t) = A(t)x(t)+A(t)y(t) = A(t)(x+y)(t).