Mathe Frage 1. Differentialgleichung?

Ich würde gerne diese Aufgabenstellung lösen:

Gegeben sei die Differentialgleichung 1. Ordnung

$x\cdot y'=x^2-y$

a) Man bestimme die allgemeine Lösung.

b) Welche Lösung erhält den Punkt P(1,3)

Ich würde mich über Hilfe - am besten mit Rechenweg- freuen. Die 2 Variablen verwirren mich leider.

Danke schonmal :)

Answer 1

[mihisu]

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Löse zunächst die zugehörige homogene Differentialgleichung und führe dann Variation der Konstanten durch.

Für Teilaufgabe b) kannst du die Konstante in der allgemeinen Lösung aus Teilaufgabe a) bestimmen, indem du die Gleichung y(1) = 3 nach der Konstanten auflöst.

Comments

[fjf100]

y´+P(x)*y=Q(x)

Lösung y=f(x)=1/u(x)*Integral(u(x)*Q(x)*dx)

u(x)=e^(integral(P(x)*dx

y´+1/x*y=x hier P(x)=1/x

Integral(1/x*dx=ln(x)

u(x)=e^(ln(x)=x

u(x)=e^Integral(P(x)*dx) nennt sich integrierender Faktor

y=f(x)=1/x*Integral(x*x*dx)=1/x*Integral(x²*dx)=1/x*1/3*x³+C/x

y=f(x)=1/3*x²+C/x

P(1/3)

usw.

[icarenot]

Herzlichen Dank !

Answer 2

[precursor]

Das kannst du verallgemeinern :

x * y´ = x ^ 2 - y

y´ = (x ^ 2 / x) - (1 / x) * y

Verallgemeinerung :

y´ = u(x) + v(x) * y

Wobei in deinem Beispiel :

u(x) = x ^ 2 / x

v(x) = - (1 / x)

ist.

Für diesen Typ Differentialgleichung gibt es eine allgemeine Lösung :

Diese Formel kannst du anwenden.

∫ v(ε) * dε = - ln(ε) + C

∫ u(ζ) * ζ * dζ = ∫ (ζ ^ 2 / ζ) * ζ * dζ = (1 / 3) * ζ ^ 3 + C

Nun kommen die Integrationsgrenzen 1 und x ins Spiel :

(- ln(x) + C) - (ln(1) + C) = - ln(x)

((1 / 3) * x ^ 3 + C) - ((1 / 3) * 1 ^ 3 + C) = (1 / 3) * x ^ 3 - (1 / 3)

Also :

y(x) = c_1 * e ^ (- ln(x)) + e ^ (- ln(x)) * ((1 / 3) * x ^ 3 - (1 / 3))

Kann man noch vereinfachen :

y(x) = c_1 / x + (1 / x) * ((1 / 3) * x ^ 3 - (1 / 3))

y(x) = (1 / x) * (c_1 + (1 / 3) * x ^ 3 - (1 / 3))

c_1 und - (1 / 3) kann man außerdem zu einer neuen Konstanten zusammen fassen, die ich c nenne, also :

y(x) = (1 / x) * (c + (1 / 3) * x ^ 3)

y(x) = (c / x) + (1 / 3) * x ^ 2

Auch wenn die Formel auf dem Bild kompliziert erscheint, ist sie eigentlich ziemlich einfach.

Comments

[precursor]

Anmerkung :

Für x = 1 und y(x) = 3 muss c = 8 / 3 sein.

Answer 3

[fjf100]

inhomogene Differentialgleichung 1.ter Ordnung

y´+P(x)*y=Q(x)

bei dir

x*y´+y=x² dividiert durch x

y´+1/x*y=x

P(x)=1/x und Q(x)=x

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Lösungsformel y=f(x)=1/u(x)*Integral(u(x)*Q(x)*dx)

u(x)=e^(Integral(P(x)*dx) nennt man integriergender Faktor

f(x)=1/x integriert

F(x)=ln(x)

also e^(ln(x)=x

y=f(x)=1/x*integral(x*x*dx)=1/x*1/3*x³+C

y=f(x)=1/3*x²+C

P(1/3)

f(1)=3=1/3*1²+C=1/3+c

C=3-1/3=9/3-1/3=8/3

partikuläre (spezielle) Lösung y=f(x)=1/3*x²+2 2/3

Prüfe auf Rechen u. Tippfehler.

probe auf Richtigkeit,habe ich nicht gemacht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 4

[fjf100]

Hinweis:ich glaub,daß ich einen Fehler gemacht habe

y=f(x)=1/x*Integral(x²*dx)

y=f(x)=1/x*(1/3*x³+C)=1/3*x²+C/x

prüf das mal nach

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert