Differentialgleichung gedämpfte Schwingung?
Hier ist ein Foto davon, wie wir die Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung gelöst haben:
Dabei habe ich eine Frage, wie man auf die umkringelte Zeile kommt.
Die quadratische Funktion liefert einem zwei Lösungen und hier beinhaltet die Differentialgleichung nur f und f‘‘. Somit braucht man Lösungen für zwei Konstanten und die hat man dann auch verwendet.
Was macht man aber wenn in der Differentialgleichung f,f‘ und f‘‘ (wie bei der gedämpften Schwingung) vorkommen? Dann hätte ich ja A1, A2 und A3 und dafür bräuchte ich drei Lösungen, allerdings liefert einem die quadratische Gleichung nur zwei.
habe ich etwas falsch verstanden und wenn ja kann mir bitte jemand das erklären?
2 Antworten
In deinem jetzigen Fall hast du ja f und f'', was zu dem Polynom
führt, woraus du wegen der quadratischen Gleichung zwei Lösungen für Lambda bekommst. Das Lambda kommt aus dem Ansatz für eine Lösung. Da du jetzt aber zwei Lösungen gefunden hast, weißt du, dass auch jede beliebige Linearkombination von diesen beiden Lösungen wieder eine Lösung sein muss (weil jeder Summand einzeln abgeleitet wird und damit einzeln die Differentialgleichung erfüllen kann).
Damit du auch wirklich jede mögliche Linearkombination berücksichtigst, kannst du jeder Lösung noch eine zusätzliche Konstante geben (welche in deinem Fall eben A_1 und A_2 genannt werden - nicht zu verwechseln mit a_1 und a_2 von oben).
Wenn du jetzt aber f, f' und f'' wie bei einer gedämpften Schwingung hättest, so erhältst du ein Polynom
welches weiterhin eine quadratische Gleichung darstellt. Du wirst also weiterhin zwei Lösungen für Lambda, und damit zwei Lösungen für deine Differentialgleichung erhalten. Um wieder eine allgemeingültig Linearkombination als Lösung zu bekommen, brauchst du also wieder nur zwei extra Konstanten (die man hier dann wohl mit B_1 und B_2 bezeichnen könnte).
D.h. die Anzahl an Konstanten in deiner Finalen Lösung richtet sich immer nach den Anzahl an unterschiedlichen Einzellösungen (hier deine Anzahl unterschiedlicher Lambdas).
Ja danke im Nachhinein ist mir auch aufgefallen dass ich die konstanten mit Lambda vertauscht hab
Wieso drei unabhängige Lösungen? Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen, egal ob ein Störterm dabei ist oder nicht. Und das überträgt sich genau auf die Differentlialgleichung.
Nein. Wo kommt dein A3 denn her? Es gibt zwei Lösungen für die aus der DGL abgeleitete quadratische Gleichung, die über A1 und A2 miteinander kominiert werden.
Ja aber ich hab doch drei Faktoren vor dem a: a1, a2 und a3 und dementsprechend bräuchte ich drei Lösungen