La place transformation faltungssatz?
Moin, ich soll eine differentialgleichung mit der laplace transformation durchführen. In einer der ersten Schritte der Lösung wurde das y(t-s) im Foto durch L(y*1) ersetzt also durch die faltung von y und 1. Ich vermute es hat was mit dem faltungssatz zutun. Kann mir jemand erklären wie das hier angewendet wurde?
2 Antworten
Hier kannst du einmal ein paar sehr nützliche Relationen (Sätze, Regeln und Beziehungen) tabellarisch aufgeführt dazu sehen.
Wir wissen:
Setzen wir bei "Convolution" für f(x) = 1 und für g(x) = y(x) ein, so erhalten wir deine Formel (G(x) wäre dein transformiertes y(x)):
Wie wurde es angewandt?
- Laplace Transform ziehen.
- Linearität anwenden: L(a f(x) + b g(x)) = L(a f(x)) + L(b g(x))
- "y(x - s) = "1 * y(x - s)" nutzen, damit "L(Int y(x - s) dx) = L(1 * y(x - s))" gilt.
- die Convolution-Formel anwenden.
LaTeX-Code für Interessierte:
\begin{align*}
\int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x &= \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x &\quad\mid\quad \mathcal{L}_{t}\left\{ \cdot \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} 1 * y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right)\\
\mathcal{L}_{t}\left\{ \int\limits_{0}^{t} y\left( x - s \right)\, \operatorname{d}x \right\}\left( x \right) &= \mathcal{L}_{t}\left\{ 1 \right\}\left( x \right) \cdot \mathcal{L}_{t}\left\{ y\left( t \right) \right\}\left( x \right)\\
\end{align*}
Unter dem Integral steht y(t-s) * 1, also y(t-s) * 1(s), wenn man die konstante so schreiben will. Das ist eine Faltung und man kann den Faltungssatz anwenden,
L(y*1) = L(y) * L(1)