Courant-Fischer Verständnis?
Hallo! Ich habe letztens eine Frage zum Satz vin Courant-Fischer über Eigenwerte gefragt:
Jetzt habe ich noch eine Frage dazu: undzwar zum Teil:
min_(X aus X_i) max_(x aus X ungleich 0) [...]
Das ganze macht für mich keinen Sinn irgendwie... wäre beides max dann könnte ich mir das vorstellen im sinne von ich nehme den Unterraum sodass der Ausdruck für ein x aus diesem Unterraum maximal wird. Aber mit dem min über X aus X_i verstehe ich das nicht... ich würde gerne genauer fragen aber es fällt mir schwer das zu formulieren. Ich kann das min einfach nicht in einen Zusammenhang bringen hier...
Danke!! LG Max Stuthmann
1 Antwort
Im Grund kannst du das in etwa so sehen...
Du gehst alle Unterräume X durch.
Für jeden dieser Unterräume gehst du die x in X (mit x ungleich 0) durch und schaust, für welches x der Wert <x, Ax>/<x, x> am größten ist. Dementsprechend erhälst du für jeden Unterraum X einen maximalen Wert für <x, Ax>/<x, x>, welchen ich mal mit mX bezeichne. [Wenn es also zwei Unterräume Xa und Xb gäbe, so würdest du bei Xa einen Wert mXa für das Maximum erhalten und bei Xb einen Wert mXb für das Maximum erhalten.]
Dann hast du eine Menge von Maximumswerten (für jeden Unterraum einen) und suchst da den minimalen Wert. [Du würdest bei dem fiktiven Beispiel mit zwei Untervektorräumen Xa, Xb die Werte mXa, mXb betrachten, und von diesen beiden Werten den kleinsten nehmen.]
Du ordnest also quasi jedem Unterraum einen Maximalwert zu und suchst den kleinsten Maximalwert.
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Mal ein anderes Beispiel, was nichts mit Unterräumen zu tun hat...
Beim Beispiel am Ende meiner Antwort habe ich ein max(min(...))-Beispiel, obwohl ich eigentlich ein min(max(...))-Beispiel machen wollte. Daher hier nochmal ein zweites Beispiel für min(max(...)): https://i.imgur.com/Wjj1ZzG.png