Wann ist eine Matrix diagonalsierbar?

Laut meinen Mitschriften -> wenn die algebrasche Vielfachheit = geometrischen Vielfachheit ist, ist eine Matrix diagonalsierbar.

Bedeutet dies, wenn ich so viele Eigenwerte finde wie die Dimension der Matrix ist und die dazugehörigen Eigenvektoren dann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Also bei einer 2x2 Matrix, hab ich dann 2 Eigenwerte mit den dazugehörigen Eigenvektoren gefunden und daher ist die Matrix diagonalisierbar oder ist damit etwas anderes gemeint?

Answer 1

[Jangler13]

Bedeutet dies, wenn ich so viele Eigenwerte finde wie die Dimension der Matrix ist und die dazugehörigen Eigenvektoren dann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Ja, wenn eine nxn Matrix n verschiedene Eigenwerte hat, dann ist die Matrix diagonalisierbar (Eigenwerte von Matrizen haben immer dazugehörige Eigenvektoren, sonst wäre es ja kein Eigenwert)

Das Charakteristische Polynom kann nämlich maximal n Nullstellen haben (wenn man auch die doppelten mitzählt) und die geometrische Vielfachheit von Eigenwerte ist immer mindestens 1 (und maximal der algebraischen vielfachheit)

Somit muss für jeden dieser Eigenwerte die Algebraische und die Geometrische vielfachheit identisch sein.

Du musst aber aufpassen, wenn die algebraische vielfachheit von einem Eigenwert größer als 1 ist, da kann es sein, dass die geometrische vielfachheit kleiner ist.

Beispiel:

1 1

0 1

Hat nur die 1 als Eigenwert, die Algebraische vielfachheit ist 2, die geometrische jedoch 1.

Answer 2

[PeterKremsner]

Wenn die Eigenwerte alle unterschiedlich sind ja. Wenn Eigenwerte doppelt (oder mehrfach) vorkommen zB doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms musst du prüfen ob die Algebraische Vielfachheit der Geometrischen entspricht.

Bei einem doppelten Eigenwert ist die algebraische Vielfachheit zB 2, die geometrische kann aber 2 oder 1 sein.