Gerschgorin Kreise Aufgabe?
Hallo!
Sei P die Begleitmatrix zu normierten Polynomen
p(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...a_1x+a_0
Also P ist überall Null nur rechts neben jedem (außer natürlich neben dem letzten) diagonalelement steht eine 1 und in der letzten Zeile steht: -a_0 -a_1 ... -a_(n-1)
Dann ist das Polynom gegeben
p3(x)= x^3+4x^2-x-1
nun soll ich die Gerschgorin Kreise der zugehörigen Begleitmatrix P3 bestimmen. Diese müssten sein:
S1=[-6;-2] (um -4 mit Radius 2)
S2=[-5;-4] (um -4 mit Radius 1)
S3=[-1,1] (um 0 mit Radius 1)
Nun meine Frage: S1 und S2 überlappen sich ja offensichtlich und S3 ist disjunkt mit S1 und S2. Folgt daraus, dass in S1 genau ein Eigenwert von P3 liegt und in S1= S1 U S2 (Vereinigung) genau 2 liegen?
Danke und LG Max Stuthmann
1 Antwort
Man kann die Kreise spalten- oder zeilenweise berechnen, du hast das vermischt.
Spaltenweise: S1= [-1,1], S2= [-2,2], S3= [-5,-3]
Zeilenweise: S1= [-1,1], S2= [-1,1], S3= [-6,-2]
(Du kannst dann auch die Schnitte nehmen S1= [-1,1], S2= [-1,1], S3= [-5,-3])
Jetzt sind (S1 U S2) und S3 disjunkt, also 2 Eigenwerte in [-1,1] (mit Vielfachheit) und ein Eigenwert in [-5,-3]
Mal schnell nachgerechnet, die Eigenwerte -4.18, -0.41, 0.59
Achso aber der Schnitt von Si und Sj für i,j=3 wobei i für zeile ind j für spalte steht ist doch [-5,-2] und nicht [-5,-3] oder?
Okay Vielen Dank! Dann habe ich das heute in der Prüfung wohl falsch gemacht.. hehe trotzdem bestanden :))