Jordan-Normalform mit zwei Eigenwerten einer 3x3 Matrix?
Hi, ich vermute, dass man die Jordan-Normalform allein durch die Informationen bestimmen kann, die man gegeben hat:
Ich schließe daraus, dass die alg. V. von lambda1 & 2 jeweils 1 ist (und geometrische vielfachheit ist für lambda1 und/oder lambda 2 ungleich 1)
Gibt es dann nicht eh nur eine Möglichkeit die Jordan-Normalform darzustellen?
Wäre es in diesem Fall nicht egal, wie hoch geometrische Vielfachheit ist? Denn so oder so, haben wir doch nur zwei verschiedene Eigenwerte, die nicht mehr oder weniger Jordan-Block-Anordnungen haben können, als eine einzige, oder? Diesen speziellen Fall habe ich noch nie behandelt, daher weiß ich nicht, ob ich da komplett falsch liege.
3 Antworten
Dein J kann keine Jordan - Normalform zu A_1 sein, denn dein J hat Größe 2x2, aber A_1 hat Größe 3x3.
Du brauchst 3 Eigenwerte, bzw. die algebraischen Vielfachheiten müssten zusammen 3 ergeben.
Du musst also herausfinden, welcher Eigenwert doppelt ist.
Es gilt:mit r_i als algebraische Vielfachheit von \lambda_i, also:
Damit hat der Eigenwert -2 die algebraische Vielfachheit 2
Da der rang(A_1+2E_3)=2 ist, hat der Eigenwert -2 aber nur die geometrische Vielfachheit 1, also gibt es nur einen Jordanbloch zu -2 und dieser hat Länge 2.
Damit ist die Jordan - Normalform von A_1 schon bestimmt:
-2 1 0
0 -2 0
0 0 2
Die Jordan-Normale hat die selbe Größe wie die Ausgangsmatrix, muss also 3x3 sein.
Dementsprechend ist der fehlende Eintrag ein doppelter Eigenwert, da ja -2 und 2 die einzigen Eigenwerte sind.
Welcher der beiden doppelt und welcher ein einfacher Eigenwert ist, lässt sich aus dem charakteristischen Polynom schließen.
ich vermute, dass man die Jordan-Normalform allein durch die Informationen bestimmen kann, die man gegeben hat
Ja
Gibt es dann nicht eh nur eine Möglichkeit die Jordan-Normalform darzustellen?
Ja
Wäre es in diesem Fall nicht egal, wie hoch geometrische Vielfachheit ist?
Nein
Denn so oder so, haben wir doch nur zwei verschiedene Eigenwerte, die nicht mehr oder weniger Jordan-Block-Anordnungen haben können, als eine einzige, oder?
das ist ebenfalls falsch