Noch eine Frage zu Gerschgorin....hehe?
Hallo! Ich habe nun schon ein paar Fragen zu Gerschgorin-Kreisen gestellt, jedoch hab ich immernoch offene Stellen bei denen ich Aufklärung benötige...
Ich habe also nun die Zeilen- und Spaltenkreise berechnet. Was genau nun? Ich wurde sagen: Vereinigung der Spaltenkreise bilden und die Vereinigung der Zeilenkreise bilden. Nun diese Beiden Vereinigungen schneiden und ich habe eine Menge in welcher die Eigenwerte liegen.
Möchte ich nun genauere Aussagen treffen bilde ich jeweils den Schnitt des ersten Spaltenkreises mit dem ersten Zeilenkreises. Dann den Schnitt des zweiten Spaltenkreises mit dem zweiten Zeilenkreis. ... Dann den Schnitt des n-ten Zeilenkreises mit dem n-ten Spaltenkreis. Jetzt habe ich diese n-vielen Schnitte und schaue mir an welche mit welchen disjunkt oder eben nicht disjunkt sind. Sind nun m- viele dieser n- vielen Schnitte nicht disjunkt liegen in der Vereinigung dieser m-vielen Schnitte genau m-viele Eigenwerte. Richtig?!?!? Und wie ist es mit der Algebrischen vielfachheit? Angenommen es überlappen sich 3 Kreise und die Eigenwerte sind a, b und nochmal b und c. In der Vereinigung dieser 3 Kreise liegen also 3 Eigenwerte. Kann es sein, dass a, b und wieder b in der Vereinigung liegen oder nicht, da b=b?
Vielen Dank und LG MAx Stuthmann
Hier das ganze an einer Aufgabe. Habe sie so bearbeitet wie ich es oben beschrieben habe:
Sigma(A) ist hier die Menge der Eigenwerte von A
1 Antwort
Der Satz vom Gerschgorin besagt, dass jeder Eigenwert in einem der Kreise liegt. Er besagt nicht, in welchem, oder dass in jedem Kreis ein Eigenwert liegen muss.
Wenn du den Satz für A anwendest, bekommst du eine Vereinigungsmenge R aller Kreise, die auf Zeilen basieren. Du kannst natürlich dasselbe Verfahren auf die Transponierte A^T anwenden und erhältst S als Vereinigungsmenge aller Kreise, die auch Spalten von A (Zeile von A^T) basieren.
Du kannst folgern, dass dann alle Eigenwerte in der Schnittmenge R\cap S liegen müssen. Aber was du weiter folgerst, verstehe ich zwar, aber ich sehe dafür keinen Beweis und auch keinen Grund anzunehmen, dass das richtig ist.
danke für die Antwort! Naja letztens habe ich eine Frage tu G kreisen gestellt und diese Antwort erhalten: