Matrix mit vorgegeben Eigenwerten konstuieren?
Konstruiere eine Matrix A∈R 4×4, die in keinem Eintrag eine 0 stehen hat und welche die vier Eigenwerte 2,0,1,8 besitzt. (Hinweis: Du kannst für diese Aufgabe Sage verwenden. Der Befehl zum Bestimmen der Eigenwerte einer Matrix A ist A.eigenvalues(). Ebenso steht dir der Befehl A.inverse() zum Invertieren von A zur Verfügung. Nicht lauffähige Programme werden nicht bewertet, dabei gilt als Maßstab NUR die Ausführbarkeit in der Konsole!)
Ansatz: Nunja, man muss eine Basis mit 4 Vektoren finden, die jeweils Eigenvektoren zu 2, 0 1 und 8 sind. Also
(a1,a2,a3,a4) [B] = 2
(b1,b2,b3,b4) [B] = 0
(c1,c2,c3,c4) [B] = 1
(d1,d2,d3,d4) [B] = 8
Wir hatten in der Vorlesung Basiswechselmatrizen und den Gauß-Jordan-Algorithmus, aber das klappt na nur, wenn man auf einer Seite die Einheitsmatrix erzeugen will und 0 haben wir ja verboten.
Man müsste eine Basiswechselmatrix mit Eigenvektoren zu 2,0,1 und 8 finden, die sich transformieren lässt, so dass keine 0 enthalten ist. Nur wie, frage ich die Klasse
1 Antwort
Ich hab es mal durchprobiert, es funktioniert so.
Das wäre z.B. A:
wenn du als Basis B
zu folgender Diagonalmatrix D
wählst.
Die Rechnung sieht dann so aus:
Du hast Recht. Ich hatte beim Ausrechnen von A auf der Diagonalmatrix die 2 und die 1 vertauscht, allerdings oben dann die falsche Matrix für D angegeben. Sieht man ja auch bei der Probe, dass der erste Vektor auf das Doppelte und der dritte Vektor exakt auf sich selbst abgebildet wird.
Das A, das ich angegeben habe, wäre also zur Diagonalmatrix 2, 0, 1, 8 und NICHT 1, 0, 2, 8.
Deine stimmen bis auf zwei Kleinigkeiten:
-3/40 (2. Zeile, 4. Spalte, bei B^-1)
-47/20 (3. Zeile, 1. Spalte bei A)
Danke für die Mühe, ich raff's grad immer noch nicht so ganz. Also du hast dir eine Basis B mit vier linear unabhängigen Vektoren konstruiert und die Diagonalmatrix D. Aber wie kommst du denn auf A? A ist doch definiert als
B*D * B^-1
also multiplizier ich zuerst B * D
1 4 2 2
2 3 1 1
3 2 3 4
4 1 4 3
multipliziert mit
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 8
ergibt
1 0 4 16
2 0 28
3 0 6 32
4 0 8 24
= B * D.
Dann multiplizert man B* D noch mit B^-1. Die Inverse zu B ist.
-9/20 11/20 1/20 1/20
7/40 7/40 -3/40 -4/40
1/2 -1/2 -1/2 1/2
-1/8 -1/8 5/8 -3/8.
So! Dann muss man B*D noch mit B^1 multiplizieren. Das wäre dann aber
-9/20 -69/20 161/20 -79/20
-9/10 -9/10 41/10 -19/10
-47/10 -107/20 343/20 -177/20
-4/5 -24/5 56/5 -24/5
Vielleicht hab ich mich aber auch nur irgendwo verrechnet. Stimmt denn die Grundidee (B * D multiplizieren, dann das Ergebnis mit der Inverse multiplizieren) und ich habe nur irgendwo einen Dreher
(PS: Ich finde es schade, dass man auf GF in Fragen und Antworten Formeln und Bilder einfügen kann, seltsamerweise aber nicht in Kommentaren dazu)