Was sind Eigenwerte?
Hallo
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Kann mir das vielleicht jemand erklären? Und kann mir jemmand sagen was die Eigenwerte mit einer Population machen?
2 Antworten
Zur Berechnung: ja, das stimmt (falls du meinst, dass man von jedem Element der Hauptdiagonalen lambda abzieht).
Eigenwerte im Sachkontext - da müsste ich überlegen. Das erste, was mir einfällt, ist der Trägheitstensor. Jeder Körper, egal, wie unregelmäßig geformt, hat drei Achsen, um die er sich unwuchtfrei drehen kann. Das Trägheitsmoment um eine dieser Achsen ist der zugehörige Eigenwert des Trägheitstensors. Wenn der Körper zu einer Drehung um eine Achse gezwungen wird, die keine der "Hauptachsen" ist, also nicht in Richtung eines der Eigenvektoren zeigt, tritt dynamische Unwucht auf. (Das macht sich z. B. als Lenkradflattern beim Auto bemerkbar. Deshalb ist es wichtig, dass die Räder nicht nur statisch, sondern auch dynamisch ausgewuchtet werden.)
Zur Population - darunter kann ich mir immer noch nicht mehr vorstellen als vorher.
Dazu bräuchte ich das Modell, das mit der Matrix beschrieben wird, oder ein Modell, das sich in eine Matrix umsetzen lässt.
der anfangsbestand ist 40, 100, 60 und der rest ist die Matrix hoffentlich kann man es lesen
Eigenvektoren, Eigenwerte:
Eine Matrix kann man ja mit einem Vektor multiplizieren; dabei entsteht ein neuer Vektor.
Es kommt vor, dass manche Vektoren (die nicht der Nullvektor sind) dabei auf einen parallelen Vektor abgebildet werden. Einen solchen Vektor nennt man "Eigenvektor", den Streckungsfaktor "Eigenwert". (Natürlich ist jeder Vektor, der parallel zu einem Eigenvektor ist und nicht gerade der Nullvektor ist, ebenfalls ein Eigenvektor, und zwar zum selben Eigenwert.)
Auch der Nullvektor ist als Bildvektor zulässig - der Nullvektor ist ja zu jedem Vektor parallel. Der Eigenwert ist dann 0.
Einfaches Beispiel:
(2 0 0)
(0 3 0)
(0 0 4)
bildet (x,0,0)^T auf 2 * (x,0,0)^T ab, jeder Vektor in Richtung der x-Achse ist also Eigenvektor zum Eigenwert 2. Entsprechend jeder Vektor in Richtung der y-Achse zum Eigenwert 3 und jeder Vektor in Richtung der z-Achse zum Eigenwert 4.
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Berechnung:
Wegen M * x = a * x ist
(M - a E) * x = 0
(E ist die Einheitsmatrix geeigneter Dimension, a ist der Eigenwert zum Eigenvektor x)
Da x nicht der Nullvektor sein darf, muss M - a E "singulär" sein, also die Determinante 0 haben. Damit haben wir eine Gleichung für die Eigenwerte.
Bei gegebenem Eigenwert kann man die Koordinaten eines Eigenvektors über die definierende Gleichung ausrechnen (natürlich nur bis auf einen Proportionalitätsfaktor).
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Was du jetzt mit Population in diesem Zusammenhang meinst, kann ich mir nicht wirklich vorstellen. Wenn du eine Nahrungskette meinst, bedeutet ein Eigenvektor mit Eigenwert 1 einen stabilen Zustand.
Hallo vielen Dank, dass du dich so schnell gemeldet hast.
Leider hab ich es noch nicht ganz verstanden. Ist es richtig, dass man die Hauptdiagonale - λ rechnet und dann die Regal von Sarrus anwenden kann um das charakteristische Polynom zu berechnen? Und wenn ich das charakteristische Polynom berechnet habe muss ich doch nur noch die Nullstellen berechnen um die Eigenwerte zu haben oder?
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel für Eigenwerte im Sachkontext nennen?
Mit Population meinte ich welche Auswirkung die Eigenwerte auf eine Population im Langzeitverhalten haben hinsichtlich dem Bestand der Population.
Ok danke.
Meine Frage ist prinzipiell: Wie kann man mit Hilfe von Eigenwerten das Langzeitverhalten einer Tierpopulation ermitteln?
Dazu muss man ja die Eigenwerte errechnen, aber was sagen mir diese Eigenwerte dann?