Hat eine n x n Matrix immer n Eigenwerte??

Anzahl der Eigenwerte? (Mathematik, Matrix, lineare Algebra)

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Mathematik

26.02.2017, 22:29

Diagonalisierbare n×n-Matrizen haben immer n Eigenwerte, wenn man die Vielfachheiten mitberücksichtigt (und der zugrundeliegende Körper algebraisch vollständig ist).

NIchtdiagonalisierbare n×n-Matrizen haben weniger als n Eigenwerte.

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Ctk89

26.02.2017, 22:05

Nein, die Anzahl der Eigenwerte kann auch jede andere Zahl sein.

Stell dir mal die Einheitsmatrix in der 2ten Dimension vor:

Wenn du nun das charakteristische Polynom betrachtest ist es natürlich:

(1-l)(1-l)-0 Wenn du nun die Eigenwerte haben willst setzt du dieses gleich Null

=> (1-l)²=0 und du bekommst nur l=1 raus... der einzige Eigenwert

Damit hast du ein Gegenbeispiel und die Aussage ist falsch

CHRIS962253

Beitragsersteller

26.02.2017, 22:16

Und wie sieht es mit den Eigenvektoren aus?

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PWolff

27.02.2017, 14:50

@CHRIS962253

Es gibt nur 2 Eigenvektoren. Für das Weitere braucht man einen sogenannten "Hauptvektor", aber da weiß ich nicht mehr auswendig, wie man den bestimmt und was man dann mit dem macht.

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