Bijektive Abbildung zwischen (0,1) und (a,b) in den reellen Zahlen finden?
Ich weiße leider nicht wie ich eine solche Abbildung konstruieren soll. Bin für jede Hilfe, sehr dankbar.
3 Antworten
Hallo GalactoseDd,
dass eine solche Abbildung bijektiv sein soll, heißt nicht, dass sie linear sein müsste.
Insofern findet sich auch für b=∞ (mehr als) eine Bijektion von ]0,1[ auf ]a,∞[, z.B. für a=0, nämlich die rechte Seite des Bildes. Die linke Seite zeigt die Abbildung von ]-1,0[ auf ]-∞,0[.
Dabei ist 'tan⁻¹' als 'arctan' zu verstehen.
Dies hier ist ja auch nur ein Beispiel für ein unendliches „Intervall“.
]0,∞[ wird durch den tanh jedenfalls auf ]0,1[ angebildet.
Die Aufgabenstellung ist ja die, für ein gegebenes Intervall ]a,b[ eine 1:1-Abbildung auf ]0,1[ zu finden, und tanh zeigt, dass es möglich ist, selbst für a=0 und b=∞ eine solche 1:1-Abbildung zu finden.
danke aber wie genau ist tanh definiert und wie wirkt sich das pi/2 in der klammer aus
:Bitte nichts durcheinanderwerfen: Die Hyperbelfunktion
tanh(x) = (ex – e–x)/(ex + e–x)
ähnelt der inversen trigonometrischen Funktion 'arctan(x)', mit dem Unterschied, dass die Asymptoten des tanh bei y=±1 und die des arctan bei ±½π liegen.
Drshalb habe ich den arctan mit dem Faktor 2/π skaliert, und zudem das Argument des arctan mit ½π.
die skalierung mit 2pi war mir klar, danke
Stell dir eine Gerade vor, die durch die Punkte (0,a) und (1,b) verläuft. Wenn du deren Definitionsbereich auf das Intervall (0,1) und den Bildbereich auf das Intervall (a,b) einschränkst, hast du so eine Bijektion [natürlich reicht ein Bild nicht, du musst die Funktion formal definieren].
Das funktioniert natürlich nur für ein endliches b ;)
Für unendliches b kann man z.B. die Funktion 1/x geeignet in Abhängigkeit von a verschieben und stauchen.
wieso aber kann man die lineare funktion für ein unendliches b nicht verwenden? man kann doch argumentieren, dass die funktion streng monoton wachsend verläuft und damit schon mal injektivität zeigen und surjektivität folgt doch aus der definition oder? Danke
Die lineare Funktion hat im Intervall (0,1) keine Grenzfunktion mit der gewünschten Eigenschaft. Diese lineare Funktion ist genau mit "Die naheliegende Bijektion" gemeint. Ihr Grenzfall ist die Senkrechte, und die ist nun mal keine Funktion. Ich denke immer noch, mit 1/x geeignet gestaucht und verschoben müßte es gehen. f(x) = a/(1-x) sollte funktionieren. f(0) = a und f(x) -> +unendl. für x -> 1.
danke, das macht sinn, wie aber könnte ich auch zeigen das eine Bijektion auch auf das Interval 0 bis unendlich gegeben ist?
Eine ganz einfache Funktion wäre z.B. f(x) = e^(-x). Wenn du die auf das Intervall (0, ∞) einschränkst, ist ihr Bild gerade (0,1).
Hallo,
(0,1) ∋ t -> f(t) := a + t(b-a) ∈ (a,b) ist so eine Bijektion.
Gruß
nur für endliches b. f hat nämlich keine die gesuchten Eigenschaften erhaltende Grenzfunktion.
aber die Funktion beschränkt sich bei beliebigem b und a nicht nur auf 0 und 1