Wie beweise ich, dass es keine Folge gibt, die alle reellen Zahlen als Häufungspunkte besitzt?
Wir haben Häufungspunkte als Grenzwert einer Teilfolge einer Folge definiert. Jetzt soll gezeigt werden, dass eine Folge nicht alle reellen Zahlen als Häufungspunkte haben kann. Wie zeige ich, dass es so eine Folge nicht geben kann? Das klingt natürlich logisch, weil die reellen Zahlen überabzählbar sind, und wenn die alle Häufungspunkte wären, dann könnte man die ja schon irgendwie abzählen, liege ich damit richtig? Leider weiss ich nur garnicht, wie ich das jetzt formal beweisen kann, hat da jemand einen Tipp für mich?
3 Antworten
hätte auch darauf abgezielt dass das n in einer Folge a(n) eine natürliche Zahl ist, während R reelle zahlen sind und damit eine wesentlich größere Menge.
Rauslaufen wird es wohl auf einen Beweis per Widerspruch.
Annahme:Es gibt eine Folge, die jede natürliche Zahl als Häufungspunkt hat.
Sei a(n) diese Folge.
Seien a1(n),a2(n),etc. die Teilfolgen die jeweils eine bestimmte reelle Zahl als Grenzwert haben.
Damit irgendwie weiter argumentieren.
grundsätzlich wird es wohl daran scheitern dass, wenn du bspw. sagst dass a und b 2 "benachbarte" reelle Zahlen sind und a(n) und b(n) die Folgen die die 2 zahlen als Grenzwertt haben,
dass es dann trotzdem eine reelle zahl c=(a+b)/2 zwischen a und b gibt, die eben keinen grenzwert einer teilfolge bildet.
Liegt einfahc dran dass es in N eine Mindestabstand von 1 zwischen 2 natürlichen Zahlen gibt, während es in R so eine Abstand faktisch nicht gibt.
zwischen 2 rellen zahlen leigen einfahc noch unbegrenzt viele weitere reelle zahlen.
mit der grundidee kannst du sicher wbeweisen dass es dann doch zahlen gibt, zu der keine teilfolge hin konvergiert.
weshalb die annahme, dass es eine solche folge mit allen reeelen zahlen als häufungspunkt gibt, falshc ist.
ak es gibt keine solche folge.
- Folgenglieder sind ja abzählbar unendlich viele...
- da es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt, kann es also gar nicht für jede dieser Zahlen einen Häufungspunkt einer Folge geben...
- denn: um den Häufungspunkt herum braucht eine (abzählbar) unendliche Teilfolge...
- oda?
Bist du sicher, dass du das beweisen sollst? Für mich klingt die Aussage einfach falsch.
Ok, das klingt besser. In meinen Augen ist das eher ein Fall für den Beweise-Teil ;)
EDIT: hab die Aufgabenstellung erst falschrum gelesen und meinen Kommentar angepasst.
Ja, also ich will beweisen dass es keine Folge gibt die das macht, das ist doch quasi dasselbe wie widerlegen oder nicht
Hab meinen Kommentar verbessert: In meinen Augen kannst du beweisen, dass eine solche Folge existiert.
Was, echt? Könntest du mir ein Beispiel für so eine Folge geben?
Jede Folge, die surjektiv auf die rationalen Zahlen ist, ist ein Beispiel.
Hmmm, aber kann es so eine Folge überhaupt geben? Ich meine, die Folge lässt sich ja quasi als Abbildung schreiben, also x: N -> R, wenn es eine surjektive Folge gäbe, dann würde es zu jedem Element aus R mindestens ein Element aus N geben, also wären die beiden Mengen gleichmächtig, oder etwa nicht ?
Jede Folge, die surjektiv auf die rationalen Zahlen ist, ist ein Beispiel.
Aufgepasst: Ich rede von einer Abbildung N -> Q, nicht N -> R
OOohhh, hmmm. Jetzt verstehe ich was du meinst....
Um zu beweisen, dass eine solche Folge tatsächlich jede reelle Zahl als Häufungspunkt hat, ist es vermutlich hilfreich, Häufungspunkte aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten als über die "konvergente Teilfolge"-Definition. Zeige:
Zu jeder reellen Zahl x und zu jedem ɛ > 0 gibt es unendlich viele Folgenglieder, die in der ɛ-Umgebung von x liegen. Zeige dann, dass diese Eigenschaft bereits ausreicht, damit x ein Häufungspunkt ist (tatsächlich ist das eine äquivalente Definition).
Echt? Die Aufgabenstellung lautet: "Beweise oder Widerlege: Hx = R" Wobei Hx die Häufungspunkte einer reellen Folge sind, R die reellen Zahlen