Beweis sin(x) >= 2/π*x
Der Sinus verläuft durch (0,0) und (π/2,1) und ebenso natürlich die Gerade f(x) = 2/π*x. Wenn man sich beide aufzeichnet, ist leicht ersichtlich, dass der Sinus immer größergleich ist auf [0,π/2], aber wie beweist man das Ganze?
Ich habe bereits zu zeigen versucht, dass sin(x) / f(x) >= 1 und dass die Differenz >= 0, hab mit der Reihe rumgeschätzt und mich an Widerspruchsbeweisen mit der Ableitung probiert, aber irgendwo häng ich mich immer auf.
Hat jemand einen Beweis oder eine Idee?
5 Antworten
Setzt man das Wissen um die Stetigkeit voraus, reicht es zu zeigen, dass die Funktionen sich an den Intervallgrenzen schneiden (und dazwischen keine Schnittpunkte existieren) und dass nur ein Punkt von f(x) unter dem Sinus liegt.
Das ist dann so ähnlich wie der Mittelwertsatz, bzw. hängt mit dem zusammen, nur dass der Fokus nicht auf die Steigung gelegt wird:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
(Der Mittelwertsatz liefert dir zwar nicht den Beweis, aber vielleicht weiterführend interessant für dich)
Hier der Plot: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin%28x%29%2C+2%2Fpi*x
Das geht sicherlich auch. Der Vorteil meines Ansatzes besteht darin, dass er ableitungsfrei ist.
Ich erkenne gerade das Problem.
sin(x) = 2/π*x lässt sich schwer nach x umstellen.
Dadurch punktet natürlich dein Ansatz.
(Ich hasse den Editor)
Mach' doch einfach eine Kuvendiskussion von g(x) = sin x - 2x/π:
Ein Hochpunkt (bei h=arccos 2/π) und kein Tiefpunkt, also lokale Minima höchstens an den Rändern: g(0)=0, g(π/2)=0.
Folglich: 0 ≤ g(x) ≤ g(h) = √[1-(2/π)²] - 2/π arccos 2/π ≅ 0,77-0,56 = 0.21
Es reicht zu zeigen, dass Sinus eine konkave Funktion ist, da die Konkavität dann genau deine Aussage beweist.
(Falls du nicht weisst, was konkav ist:
g(t*x+(1-t)*y)>=t*g(x)+(1-t)*g(y), wobei du x und y frei wählen kannst, bei dir wählen wir x=0 und y=π/2)
Um zu beweisen, dass Sinus Konkav ist reicht es zu zeigen, dass die zweite Ableitung negativ ist auf dem Intevall. Das ist sie natürlich, denn die zweite Ableitung ist ja -sin(x).
Anschaulich ist das völlig klar. Aber wie beweist man
g(0)=0, g(π/2)=0, g''(x)≥0 auf [0,π/2] =(?)=> g(x) ≥ 0
Die zweite Ableitung muss negativ sein, sonst ist die Funktion konvex, nicht konkav. Der Beweis für das Gegenteil funktioniert genau gleich.
Also wir machen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es ein t gibt mit g(t)<0. Dann muss es jedoch ein t_1 geben in [0,t], mit g'(t_1)<0, sonst geht das nicht (es gibt sogar eins mit g'(t_1)=g(t)/t, aber das brauchen wir nicht). Genau gleich gibt es ein t_2 in [t,π/2] mit g'(t_2)>0. Aus dem gleichen Argument haben wir dann aber, dass es ein t_3 in [t_1,t_2] gibt, für das gilt g''(t_3)>0, was ein Widerspruch zur Posotivität der zweiten Ableitung ist.
Dividiere die Ungleichung durch x. Es ist sin(x)/x = 1 (>2/pi) für x= 0. (de l'Hospital)
Bie x=pi/2 sind beide gleich, und die Ableitung von sin(x)/x ist in (0,pi/2] negativ.
Reicht das schon?
Evtl. mit Integral über (sinx - x) von 0 bis 90° .
Kannst du nachweisen, dass die 2. Ableitung der Differenz in dem betrachteten (offenen) Intervall überall negativ ist? Damit ist die Differenz überall rechtsgekrümmt und du kannst die Definition der Rechtskrümmung anwenden, oder beim Mittelwertsatz nutzen, dass du genau eine Stelle mit mittlerer Steigung hast.