Totale Differenzierbarkeit?
Ich würde mit der Definition der totalen Ableitung dies beweisen. Und zwar habe ich schon partiellen Ableitungen in (0,0) ausgerechnet und zwar kommt da heraus für dx1 f(0,0) = 1 und dx2 f(0,0) = 0.
Ich würde dann als lineare Abbildung die Funktion f‘(x)h = h1 verwenden und den Rest auch in die Definition der totalen Ableitung (als Limes) einsetzen.
Ich denke, dass ich nun den Grenzwert richtig abschätzen muss, sodass dann 0 herauskommt.
Kann mir wer bei der Abschätzung helfen?
Lg
1 Antwort
Ich argumentiere über die Richtungsableitungen, sei (v,w) ein Einheitsvektor und h reell, dann folgt mit dem Differentialquotienten
( f( h(v,w) ) - 0 ) / h = (hv)^3 / ( h^2 (v^2 + w^2) ) / h = v^3
Insbesondere sind die partiellen Ableitungen in der Null gleich 1 (in x1-Richtung) bzw. 0 (in x2-Richtung).
Wäre f total differenzierbar, so müsste sich die Richtungsableitung darstellen lassen als v * 1 + w * 0, was aber offenbar im allgemeinen nicht gilt.
Danke für die Antwort, würde es auch gehen, zu zeigen, dass die Richtungsableitung in (0,0) in Richtung (v,w) nicht linear ist. Denn dann ist f nicht Gateâux diffbar und somit auch nicht total diffbar, falls das dir was sagt.