Betragsstriche im Gleichungssystem?
Wie geht man mit Betragsstrichen im Gleichungssystem um?
3 Antworten
Fall +++ :::::
x + y + 1 = 1
y + z + 2 = 1
z + x - 2 = 1
man ersetzt in I x und y durch z aus II und III
1 + 2 - z + 1 - 2 - z = 1
2 - 2z = 1
-2z = -1
z = +1/2
ist aber nicht Lösung
.
Die kann man hier nachprüfen
Es ist |x| = x, wenn x >= 0
und |x| = -x, wenn x <= 0.
Man kann also je Betrag 2 Fälle unterscheiden.
Das wären bei dieser Aufgabe insgesamt 8 Fälle, also 8 Gleichungssysteme.
Es geht allerdings deutlich einfacher, aber dazu schreibe ich jetzt nichts, weil das hier die Aufgabe 631212 der aktuellen Matheolympiade ist.
Die wird am 3.11. auf
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/aufgaben?view=aktaufg
veröffentlicht.
und ich habe mich schon gewundert , warum diese Aufgabe so häufig vorkommt bei GF
Das ist mir auch aufgefallen.
Diese Frage muss es den Fragestellern wirklich angetan haben 😉
Für die Matheolympiade ist hier aber untypisch, dass sich die Aufgabe mit den Standardalgorithmen lösen lässt, wenngleich auch mit viehischem Aufwand.
Könntest du sobald die erste Runde der Matheolympiade vorbei ist die einfachere Lösung erklären, nur der Interesse halber
Vielen Dank. Der Ansatz reicht hoffentlich, damit ich es allein schaffe.
Ich komme allerdings nur bei vier auf Lösungen. Bei den anderen vier nicht
Der einfache Fall ist, dass die Betragsstriche das Vorzeichen nicht wechseln. Dann kannst du sie einfach weglassen.
x + y + 1 = 1
Im anderen Fall drehen die Betragsstriche das Vorzeichen. Das heißt, |y+1| = -(y+1):
x - (y+1) = 1
Das heißt, du hast acht Gleichungssysteme.
|+| |+| |+|
|-| |+| |+|
|+| |-| |+|
|+| |+| |-|
|-| |-| |+|
|-| |+| |-|
|+| |-| |-|
|-| |-| |-|
Also ich komme nur bei 4 davon auf Lösungen
Die Lösung des ursprünglichen Gleichungssystem setzt sich aus den Teillösungen zusammen.
Wenn ein Gleichungssystem keine Lösung bietet, hast du nichts, was du der Lösungsmenge hinzufügen kannst.
Wenn ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, ist die (Gesamt-)Lösungsmenge IR^3, wenn x, y und z aus IR sind.
Du kannst aber auch probieren, die erste Gleichung nach x umzustellen und sie in die dritte einsetzen. Dann die zweite nach y und in die neue Gleichung einsetzen.
Dann hast du geschachtelte Beträge. Könnte aber klappen. Ist nur eine Idee.
was ist denn die deutlich einfachere Lösung?