Bestimme möglichst große Intervalle, in denen die Funktion f streng monoton ist?

Aufgaben: a) 4x+2x²; b) 1/3x-9x+1; c) 1/5x^5-1/4x^4; d)1/8x^4+4x; e) sin(x-π/2); f) 2/x

Habe mir natürlich auch schon Videos dazu angesehen und ein paar der Aufgaben bearbeitet, würde aber gerne die richtigen Lösungen zum Abgleichen haben.

Danke im Voraus

Answer 1

[Applwind]

Eine Möglichkeit wäre es, über die erste Ableitung.

Es gilt für streng monoton wachsend :

$f'\left(x\right)>0$ Es gilt für streng monoton fallend:

$f'\left(x\right)<0$ Beispiel für f)

$f\left(x\right)=\frac{2}{x},\ x\ \ne0$ $f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^2},\ x\ \ne0$ Erste Bedingung:

$-\frac{2}{x^2}>0\ aber\ es\ ist\ x^2\ \ge0\ \wedge\ -2<0\ also\ -\frac{2}{x^2}<0\ \rightarrow\ falsche\ Aussage\ \rightarrow\ f\ ist\ in\ keinem\ Intervall\ streng\ monoton\ wachsend$ Zweite Bedingung:

$-\frac{2}{x^2}<0\ \Leftrightarrow-2<0\ wegen\ x^2\ge0\ gilt\ nur\ -2<0\ \left(w\right)\ \rightarrow\ f\ ist\ streng\ monoton\ fallend\ \forall\ x\ \in D_f\$ * Die Bedingung oben meint, dass es nicht nötig ist eine Fallunterscheidung durchzuführen, da ja x² nie negativ sein kann.

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Comments

[Applwind]

Anmerkung: Die betrachteten Funktionen sind reellwertige Funktionen. Diese Annahme gelten für meine ganze Antwort inklusive der *.

Answer 2

[vincent563]

a) $\left[1,\infty\right),es\ gibt\ kein\ intervall$ sind die ersten lösungen

Comments

[RitterToby08]

Du meinst wohl -1 und was ist mit es gibt kein Intervall gemeint?

[Matze1324]

Okay Danke, aber wie komme ich auf -1?

[RitterToby08]

@Matze1324

Berechne die Nullstellen der 1. Ableitung, danach die 2. Ableitung. Da die 2. Ableitung auf ganz R positiv ist, folgt, dass die 1. Ableitung streng monoton steigend ist. Jetzt setzt eine Wert größer als -1 in die 1. Ableitung ein, da der Funktionswert positiv ist, folgt (wegen der strengen Monotonie), dass die erste Ableitung auf [-1,unendlich) positiv ist. Damit ist f auf [-1,unendlich) monoton steigend. Genauso kannst du zeigen, dass f auf (-unendlich,-1] monoton fallend ist.

[Matze1324]

@RitterToby08

Vielen Dank