Substituiren?
Wie substituiert man foldende Gleichungen :
2x^4 - 8x^2 - 90 = 0
und
3x^4 + 9x^2 - 162 = 0
?
3 Antworten
2x^4 - 8x^2 - 90 = 0
u := x ^ 2 mit x = ± √(x)
2 * u² - 8 * u - 90 = 0
Durch 2 teilen :
u² - 4 * u - 45 = 0
pq-Formel anliefert :
u_1 = -5
u_2 = 9
Rücksubstitution :
x_1 = - √(-5) = - √(-5) * i
x_2 = √(-5) = √(-5) * i
x_3 = - √(9) = - 3
x_4 = √(9) = 3
i ist die imaginäre Einheit
Deine andere Gleichung nach demselben Schema.
Korrektur :
mit x = ± √(u)
x_1 = - √(5) * i
x_2 = = √(5) * i
sollte es natürlich heißen.
Wenn man bei solchen biquadratischen Gleichungen x² substituiert, erhält man eine quadratische Gleichung, die man mit quadratischer Lösungsformel lösen kann.
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Substituiert man bei
mit u = x², so erhält man
Diese quadratische Gleichung kann man dann mit quadratischer Lösungsformel lösen. Man kann beispielweise mit der Mitternachtsformel arbeiten. Oder man dividiert durch 2 und verwendet die pq-Formel, wie ich es im Folgenden vorrechne ...
Nun steht in der ursprünglichen Gleichung aber nicht u, sondern x. Zu den gefundenen u-Werten muss man noch die zugehörigen x-Werte ermitteln. Dazu nutzt man, dass man ja u = x² substituiert hat. Man sucht also x mit x² = -5 bzw. x² = 9.
Die Gleichung x² = -5 ist im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar, da es keine reelle Zahl gibt, die quadriert eine negative Zahl ergibt. (Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es zwar die Lösungen ±√(5)i. Da du aber wahrscheinlich noch Schüler bist, der noch nichts von komplexen Zahlen gehört hat, ist das hier wohl nicht von Interesse.)
Die Gleichung x² = 9 hat zwei Lösungen, nämlich x = ±√(9) = ±3.
Ergebnis: Die reellen Lösungen der Gleichung 2x⁴ - 8x² - 90 =0 sind x = -3 bzw. x = 3.
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Insgesamt könnte die Rechnung also beispielsweise folgendermaßen aussehen:
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Die andere Gleichung 3x⁴ + 9x² - 162 = 0 lässt sich vollkommen analog lösen.
Man definiert bei der Substitution eben günstig und ersetzt dann das zu definierende mit dem definierten, denn Substitution heißt ja im Prinzip auch "ersetzen". Hier wäre es günstig folgendes festzulegen:
Das x² wird also mit dem Buchstaben z substituiert und es sieht folgendermaßen aus:
Eine solche quadratische Gleichung lässt sich kinderleicht mit dem PQ-Algorithmus lösen:
Es folgen die beiden Lösungen:
Wir sind allerdings (noch) nicht fertig.
Es wurde festgelegt, dass:
ist, also müssen wir folgende Gleichungen noch lösen:
Radizieren liefert bei der 1. Gleichung die Lösung:
Radizieren der zweiten Gleichung liefert im reellen Zahlenbereich zwar keine Lösung, aber gehen wir davon aus, dass du den komplexen Zahlenbereich kennst, also x Element der komplexen Zahlen ist, dann folgt folgende Lösung:
Mit dem Ansatz:
EDIT: PQ-Formel erfordert folgendes Schema:
x²+pq+q=0
Division mit 3 vergessen, ich bin ein Idiot xD (SHAME ON ME)
Ich habe eindeutig Schlafmangel... alternativ kannst du auch die Mitternachtsformel nutzen und bitte, mach nicht denselben Fehler wie ich.
Naja, wenn ich korrigieren darf (geht leider ohne Formeleditor):
Nach der Division mit 3:
z²+3z-54=0
PQ-Formel anwenden...
z_1/2 = -3/2 +- Wurzel aus [(3/2)² + 54]
z_1 = 6
z_2 = -9
dann die Gleichungen:
x² = 6
und
x² = -9
lösen
- Gleichung: x_1/2 = +- Wurzel aus [6] (ist ungefähr 2,449)
- Gleichung hat, wenn x e R (Element der reellen Zahlen) ist, keine Lösung
Für den komplexen Zahlenbereich hingegen schon:
x_3/4 = +- Wurzel aus [9]i
Damit dann alle Lösungen für x e R
x_1 = Wurzel aus [6]
x_2 = - Wurzel aus [6]
Alle Lösungen für x e C
x_3 = Wurzel aus [9]i
x_4 = - Wurzel aus [9]i