Beispiel Gewinnoptimierung?
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Komme nicht auf die Lösung.
π ist die Gewinnfunktion, also Nachfrage×Preis(p) - Kostenfunktion
und qopt ist die Scheitelpunktfunktion, um die optimale Produktionsmenge mit dem meisten Gewinn zu ermitteln.
3 Antworten
Hallo 4Andi,
auf diesem speziellen Gebiet bin ich etwas fachfremd, glaube aber trotzdem helfen zu können.
Die Konstanten in den Funktionen, in der Mathematik auch Parameter oder Koeffizienten genannt, müssen natürlich richtig übernommen werden, damit bei richtiger Rechnung auch das richtige Ergebnis herauskommt. Du hast aus der 1230 aus D(p) eine 120 gemacht; wenn Du Glück hast, ist das schon der Fehler.
Generell würde ich die Parameter durch Buchstaben wiedergeben, etwa wie im Beispiel einer quadratischen Funktion
(1) y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c – b²/4a,
wo x die Variable und a, b und c Konstanten sind. Der zweiten Form sieht man besser an, wie die Parabel aussieht, natürlich in Abhängigkeit von a, b und c.
Zahlen sollte man erst am Schluss einsetzen. Wenn man einen Computer benutzt, kann man die Parameter z.B. in Excel eintragen.
In diesem Fall kannst Du entweder schreiben
(2.1) D(p): q = ap + b
(2.2) C(q) = cq² + dq + e
oder
(3.1) D(p): q = –ap + b
(3.2) C(q) = cq² – dq + e;
im ersten Fall hast Du a=–1,8665, im zweiten a=1,8665 gesetzt, also nur den Betrag. Vielleicht ist das sicherer.
Das weitete Vorgehen ist nun ähnlich, wie Du es gemacht hast bzw. precursor es gemacht hat, wobei das mit Formelzeichen einfacher ist:
(4) p = (b – q)/a
Umsatz ist, wenn ich richtig verstanden habe,
(5) pq = (bq – q²)/a
und
(6) π(q) = pq – C(q)
= (b/a)q – (1/a)q² – cq² + dq – e
= –((1/a) + c)q² + (b/a + d)q – e
=: –Aq² + Bq – e
Diese quadratische Funktion kannst Du im Prinzip ähnlich umstellen wie (1), um festzustellen, wohin die Funktion q-mäßig verschoben wurde.
Du weißt aber, dass es eine nach unten offene Parabel ist. Die hat nur eine Extremstelle, ein Maximum, das zugleich die einzige Nullstelle der ersten Ableitung
(7) π'(q) =–2Aq + B =–2((1/a)+c)q + (b/a +d)
ist, also
(8.1) 2((1/a) + c)q_{opt} = (b/a +d)
(8.2) q_{opt} = (b/a + d)/(2/a + 2c)
Wenn Du jetzt die richtigen Zahlen einsetzt, sollte das richtige Ergebnis herauskommen.
Ich überschlage nur grob: b/a≈1230/1,9≈620·(1,05)≈651
d ≈ 170
=> Zähler ca. 820
2/a≈1,05
2c≈0,8
=> Nenner ca. 1,85
=> Größenordnng stimmt etwa.
Das Überschlagen ist auch nützlich, um zu prüfen, ob man sich beim Rechner vertan hat.
Wie gesagt: Immer erst mit Formelzeichen fertige Formel erstellen, dann Zahlen einsetzen.
Wenn Du unsicher bist, ob Du richtig gerechnet hast (die korrekte Lösung wird ja nicht immer angezeigt), mit Näherungswerten überschlagen. Dann sollte ein richtiges Ergebnis zumindest der Größenordnung
Warum rechnest du nicht von 429 mit der formel genau umgekehrt schaust dir an was da passiert versuchst zu verstehen was da passiert und machst dann die rechnung.
Wobei du auch anders anfangen kannst und dir klar machst das ein wert in beiden formeln identisch sein muss und wenn du dir überlegst was in beiden formeln passiert kommst du drauf.
q = -1.8665 * p + 1230
Das nach p umstellen :
p = (q - 1230) / -1.8665
p = (1230 - q) / 1.8665
Jetzt eine neue Funktion definieren, die nenne ich jetzt G(q) :
G(q) = (q * (1230 - q) / 1.8665) - (0.4275 * q ^ 2 - 168 * q + 79528)
Von dieser Funktion berechnest du jetzt die Extremwertstellen, dabei hilft es die Funktion vorher noch zu vereinfachen.
Laut deiner Aufgabe interessiert nur das Maximum (Hochpunkt).
Wenn du richtig rechnest, dann findest du heraus, dass das Maximum an der Stelle
q ≈ 429,264 liegt, was gerundet 429 ist, wie es in deiner Aufgabe verlangt wird.
Der FS hat ja so etwas gemacht, nur mit dem falschen Wert für den Parameter b (120 statt 1230). Deshalb ist auch seine Lösung falsch.
Hi, danke für die Hilfe!
Wäre bei mir typisch, dass ich einfach falsch abgeschrieben habe, aber jemand anders findet solche Fehler meistens schneller als man selbst.
Ich werde heute alles nochmal mit den richtigen Werten nachrechnen wenn ich Zeit habe, mal schauen ob es nur deshalb falsch ist.
LG