Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Gleichung 0=-0,5x³+4,5x²-12*x+7,5 genau eine Lösung hat?
Ich verstehe, dass diese Stelle bei etwas unter 1 liegen muss und habe auch folgende Lösung im Netz gefunden:
Jede Lösung der angegebenen Gleichung ist eine Nullstelle der Funktion f . Anhand der Abbildung erkennt man, dass es eine Nullstelle im Intervall [0;1] gibt. Gäbe es weitere Nullstellen von f, so müsste es an einer Stelle x < 1 einen Hoch- oder an einer Stelle x > 4 einen Tiefpunkt des Graphen von f geben. Neben den zwei in der Abbildung erkennbaren Punkten mit waagerechter Tangente gäbe es also mindestens noch einen dritten, was aber nicht möglich ist, da die erste Ableitung der Funktion f eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist
Allerdings kann ich mit der restlichen Erklärung nichts anfangen...es gibt übrigens 3BE auf diese Aufgabe
2 Antworten
Hallo,
die Antwort bezieht sich offensichtlich auf einen abgebildeten Teil des Graphen der Funktion - ich nehme an, zwischen 0 und 4.
Die Funktion kommt von links oben, schneidet bei 7,5 die y-Achse und hat eine Nullstelle zwischen x=0 und x=1. Dann sieht man wohl noch einen Tiefpunkt bei x=2, natürlich unterhalb der x-Achse, und einen Hochpunkt bei x=4, auch unterhalb der x-Achse. Von da an rauscht die Funktion in den Keller.
Weitere Nullstellen könnte sie nur haben, wenn sie ihre Richtung noch einmal verändern würde. Das geht bei einer stetigen Funktion nur an einer Extremstelle.
Da die Extremstellen aber die Nullstellen der ersten Ableitung sind und die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion einen Grad niedriger ist als die Funktion, desweiteren die maximale Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ihrem Grad entspricht, ist die Ableitung dieser Funktion dritten Grades eine Funktion zweiten Grades mit zwei Nullstellen. Es kann also höchsten zwei Extremstellen geben - und die liegen bei x=2 und x=4. Da weder vor der Nullstelle bei x gleich zwischen 0 und 1 noch nach der Extremstelle bei x=4 keine weitere Extremstelle existieren kann, gibt es auch keine Richtungswechsel des Graphen mehr, der zu einer weiteren Nullstelle führen könnte.
Herzliche Grüße,
Willy
Was genau verstehst du denn an der Erklärung nicht? Ich finde die soweit doch recht verständlich.